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Espaces euclidiens — cours et méthodes ECG2 approfondies | MetMat

Méthodes › ECG 2ème année Maths Approfondies

ECG 2ème année Maths Approfondies

Espaces euclidiens

Introduction à l'algèbre bilinéaire : produit scalaire sur un

\mathbb{R}

-espace vectoriel, norme euclidienne, orthogonalité et inégalité de Cauchy-Schwarz. Cadre fondamental pour l'étude des projections orthogonales et des endomorphismes symétriques.

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Maîtriser

En vérifiant successivement bilinéarité, symétrie, puis caractère défini positif

En exploitant la symétrie pour ne vérifier la linéarité que par rapport à une variable

En reconnaissant un produit scalaire connu (canonique, intégral, trace)

En utilisant la définition

\|x\| = \sqrt{\langle x, x \rangle}

En développant

\|x + y\|^2 = \|x\|^2 + 2\langle x, y \rangle + \|y\|^2

En base orthonormée, via

\|x\|^2 = \sum_i \langle x, e_i \rangle^2

\langle x, y \rangle = 0

par calcul direct

En vérifiant l'orthogonalité sur une base de chaque sous-espace

|\langle x, y \rangle| \leq \|x\| \|y\|

pour majorer un produit scalaire

En identifiant le cas d'égalité par colinéarité

\langle e_i, e_j\rangle = 0

i\neq j

\|e_i\| = 1

En partant d'une famille orthogonale et en divisant chaque vecteur par sa norme

En appliquant le procédé d'orthonormalisation de Schmidt en petite dimension

Comment prouver qu'une famille orthogonale ne contenant pas le vecteur nul est libre ?

x = \sum_i \langle x,e_i\rangle e_i

pour lire les coordonnées et

\|x\|^2 = \sum_i \langle x,e_i\rangle^2

En résolvant le système linéaire

X_{\mathcal{B}} = P\, X_{\mathcal{B}'}

de matrice de passage

\langle x,y\rangle = {}^t\!XY

en base orthonormée

\|x\|^2 = {}^t\!XX

en base orthonormée

En complétant en base quelconque puis en orthonormalisant (Schmidt)

En prenant une base orthonormée du supplémentaire orthogonal

F^{\perp}

En résolvant le système

\langle x, f_i \rangle = 0

sur une base de

F

En complétant une base orthonormée de

F

en base orthonormée de

E

Comment reconnaître qu'une matrice de passage entre deux bases orthonormées est orthogonale et exploiter

P^{-1} = {}^t\!P

\|x+y\|^2 = \|x\|^2 + \|y\|^2

x \perp y

En généralisant à une famille orthogonale :

\|\sum x_i\|^2 = \sum \|x_i\|^2

En utilisant la réciproque pour prouver l'orthogonalité

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Maîtrise encore 2 méthodes pour débloquer cette étape.

Résoudre

Maîtrise encore 2 méthodes pour débloquer cette étape.