Comment exprimer matriciellement le produit scalaire et la norme en base orthonormée ?

En utilisant $\|x\|^2 = {}^t\!XX$ en base orthonormée

Calculer la norme euclidienne $\|x\|$ à partir de la colonne coordonnée $X$ dans une base orthonormée.

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Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Dans $\mathbb{R}^3$ canonique, calculer $\|x\|$ pour $x = (2,-1,2)$ .

L'objectif

Calculer la norme euclidienne $\|x\|$ à partir de la colonne coordonnée $X$ dans une base orthonormée.

Le principe

Si $\mathcal{B}$ est orthonormée et $X$ la colonne coordonnée de $x$ dans $\mathcal{B}$ , alors $\|x\|^2 = {}^t\!X X = \sum_{i=1}^n X_i^2$ , ce qui traduit Parseval sous forme matricielle.

La méthode

1
Je vérifie que la base $\mathcal{B}$ dans laquelle $x$ est exprimé est orthonormée.
2
J'écris la colonne coordonnée $X$ de $x$ dans $\mathcal{B}$ .
3
Je calcule $\|x\|^2 = {}^t\!XX = \sum_{i=1}^n X_i^2$ , puis $\|x\| = \sqrt{{}^t\!XX}$ et je conclus.

Pour comprendre, fais des exercices !

Exercice d'exemple

Dans $\mathbb{R}^3$ canonique, calculer $\|x\|$ pour $x = (2,-1,2)$ .

Étape 1 —

Je vérifie que la base

\mathcal{B}

dans laquelle

x

est exprimé est orthonormée.

La base canonique est orthonormée.

Étape 2 —

J'écris la colonne coordonnée

X

de

x

dans

\mathcal{B}

.

La colonne coordonnée est $X = \begin{pmatrix}2\\ -1\\ 2\end{pmatrix}$ .

Étape 3 —

Je calcule

\|x\|^2 = {}^t\!XX = \sum_{i=1}^n X_i^2

, puis

\|x\| = \sqrt{{}^t\!XX}

et je conclus.

Donc $\|x\|^2 = {}^t\!XX = 4+1+4 = 9$ , d'où $\|x\| = 3$ .

$\|x\| = 3$ .

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