Comment vérifier qu'une application est un produit scalaire ?

Établir qu'une application $\varphi : E \times E \to \mathbb{R}$ est un produit scalaire, c'est-à-dire une forme bilinéaire symétrique définie positive.

Choisissez une approche :

En vérifiant successivement bilinéarité, symétrie, puis caractère défini positif
Revenir à la définition : montrer que $\varphi$ est bilinéaire, symétrique, positive et définie (c'est-à-dire $\varphi(x, x) = 0 \Rightarrow x = 0_E$ ).
En exploitant la symétrie pour ne vérifier la linéarité que par rapport à une variable
Vérifier la symétrie d'abord, puis se limiter à la linéarité par rapport à la première variable : la linéarité par rapport à la seconde s'en déduit automatiquement.
En reconnaissant un produit scalaire connu (canonique, intégral, trace)
Identifier directement l'application comme un produit scalaire usuel du cours (canonique de $\mathbb{R}^n$ , $\int_a^b fg$ , $\mathrm{Tr}({}^t\!AB)$ ) et invoquer le résultat correspondant.