Comment vérifier qu'une… : En exploitant la symétrie pour ne… — ECG2 approfondies | MetMat

Comment vérifier qu'une application est un produit scalaire ?

En exploitant la symétrie pour ne vérifier la linéarité que par rapport à une variable

Gagner en efficacité lors de la vérification d'un produit scalaire en combinant symétrie et linéarité par rapport à une seule variable.

Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Montrer que $\varphi : ((x_1, x_2), (y_1, y_2)) \mapsto 2 x_1 y_1 + x_1 y_2 + x_2 y_1 + x_2 y_2$ est un produit scalaire sur $\mathbb{R}^2$ .

L'objectif

Gagner en efficacité lors de la vérification d'un produit scalaire en combinant symétrie et linéarité par rapport à une seule variable.

Le principe

Si $\varphi : E \times E \to \mathbb{R}$ est symétrique et linéaire par rapport à la première variable, alors $\varphi$ est automatiquement linéaire par rapport à la seconde ; il reste à vérifier la positivité et le caractère défini.

La méthode

1
Je vérifie la symétrie : pour tous $x, y \in E$ , $\varphi(x, y) = \varphi(y, x)$ .
2
Je vérifie la linéarité à gauche uniquement : pour tous $x, x', y \in E$ et $\lambda, \mu \in \mathbb{R}$ , $\varphi(\lambda x + \mu x', y) = \lambda \varphi(x, y) + \mu \varphi(x', y)$ .
3
J'en déduis, par symétrie, la linéarité à droite : $\varphi$ est donc bilinéaire.
4
Je vérifie la positivité $\varphi(x, x) \geq 0$ et le caractère défini $\varphi(x, x) = 0 \Rightarrow x = 0_E$ .
5
Je conclus que $\varphi$ est un produit scalaire sur $E$ .

Pour comprendre, fais des exercices !

Exercice d'exemple

Montrer que $\varphi : ((x_1, x_2), (y_1, y_2)) \mapsto 2 x_1 y_1 + x_1 y_2 + x_2 y_1 + x_2 y_2$ est un produit scalaire sur $\mathbb{R}^2$ .

Étape 1 —

Je vérifie la symétrie : pour tous

x, y \in E

\varphi(x, y) = \varphi(y, x)

Symétrie : en échangeant $x$ et $y$ , $\varphi(y, x) = 2 y_1 x_1 + y_1 x_2 + y_2 x_1 + y_2 x_2 = 2 x_1 y_1 + x_1 y_2 + x_2 y_1 + x_2 y_2 = \varphi(x, y)$ .

Étape 2 —

Je vérifie la linéarité à gauche uniquement : pour tous

x, x', y \in E

\lambda, \mu \in \mathbb{R}

\varphi(\lambda x + \mu x', y) = \lambda \varphi(x, y) + \mu \varphi(x', y)

Linéarité à gauche : si $x = \lambda u + \mu v$ avec $u = (u_1, u_2)$ , $v = (v_1, v_2)$ , on vérifie terme à terme que $\varphi(\lambda u + \mu v, y) = \lambda \varphi(u, y) + \mu \varphi(v, y)$ .

Étape 3 —

J'en déduis, par symétrie, la linéarité à droite :

\varphi

est donc bilinéaire.

Par symétrie, $\varphi$ est également linéaire par rapport à la seconde variable, donc bilinéaire.

Étape 4 —

Je vérifie la positivité

\varphi(x, x) \geq 0

et le caractère défini

\varphi(x, x) = 0 \Rightarrow x = 0_E

Positivité : $\varphi(x, x) = 2 x_1^2 + 2 x_1 x_2 + x_2^2 = x_1^2 + (x_1 + x_2)^2 \geq 0$ . Caractère défini : si $\varphi(x, x) = 0$ , alors $x_1 = 0$ et $x_1 + x_2 = 0$ , donc $x_1 = x_2 = 0$ .

Étape 5 —

Je conclus que

\varphi

est un produit scalaire sur

E

$\varphi$ est donc un produit scalaire sur $\mathbb{R}^2$ .

$\varphi$ est un produit scalaire sur $\mathbb{R}^2$ .

Les applications suivantes et la correction guidée sont réservées aux membres Premium

La méthode et sa première application corrigée restent en accès libre. Le Premium débloque les applications suivantes, l'aide IA et le suivi de ta maîtrise.