Comment vérifier qu'une… : En vérifiant successivement… — ECG2 approfondies | MetMat

Comment vérifier qu'une application est un produit scalaire ?

En vérifiant successivement bilinéarité, symétrie, puis caractère défini positif

Établir qu'une application $\varphi : E \times E \to \mathbb{R}$ est un produit scalaire sur le $\mathbb{R}$ -espace vectoriel $E$ .

Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Montrer que $\varphi : (X, Y) \mapsto {}^t\!X Y = \sum_{i=1}^n x_i y_i$ est un produit scalaire sur $\mathbb{R}^n$ (produit scalaire canonique).

L'objectif

Établir qu'une application $\varphi : E \times E \to \mathbb{R}$ est un produit scalaire sur le $\mathbb{R}$ -espace vectoriel $E$ .

Le principe

Un produit scalaire sur $E$ est une forme bilinéaire symétrique définie positive : $\varphi$ est linéaire par rapport à chaque variable, vérifie $\varphi(x, y) = \varphi(y, x)$ , $\varphi(x, x) \geq 0$ pour tout $x$ , et $\varphi(x, x) = 0 \Rightarrow x = 0_E$ .

La méthode

1
Je précise l'espace $E$ et je vérifie que $\varphi$ est à valeurs dans $\mathbb{R}$ .
2
Je vérifie la symétrie : pour tous $x, y \in E$ , $\varphi(x, y) = \varphi(y, x)$ .
3
Je vérifie la linéarité à gauche (la linéarité à droite s'ensuit par symétrie) : pour tous $x, x', y \in E$ et $\lambda, \mu \in \mathbb{R}$ , $\varphi(\lambda x + \mu x', y) = \lambda \varphi(x, y) + \mu \varphi(x', y)$ .
4
Je vérifie la positivité : pour tout $x \in E$ , $\varphi(x, x) \geq 0$ .
5
Je vérifie le caractère défini : $\varphi(x, x) = 0 \Rightarrow x = 0_E$ , et je conclus que $\varphi$ est un produit scalaire sur $E$ .

Pour comprendre, fais des exercices !

Exercice d'exemple

Montrer que $\varphi : (X, Y) \mapsto {}^t\!X Y = \sum_{i=1}^n x_i y_i$ est un produit scalaire sur $\mathbb{R}^n$ (produit scalaire canonique).

Étape 1 —

Je précise l'espace

E

et je vérifie que

\varphi

est à valeurs dans

\mathbb{R}

$E = \mathbb{R}^n$ est un $\mathbb{R}$ -espace vectoriel et $\varphi$ est bien à valeurs dans $\mathbb{R}$ .

Étape 2 —

Je vérifie la symétrie : pour tous

x, y \in E

\varphi(x, y) = \varphi(y, x)

Symétrie : $\varphi(X, Y) = \sum x_i y_i = \sum y_i x_i = \varphi(Y, X)$ .

Étape 3 —

Je vérifie la linéarité à gauche (la linéarité à droite s'ensuit par symétrie) : pour tous

x, x', y \in E

\lambda, \mu \in \mathbb{R}

\varphi(\lambda x + \mu x', y) = \lambda \varphi(x, y) + \mu \varphi(x', y)

Linéarité à gauche : $\varphi(\lambda X + \mu X', Y) = \sum (\lambda x_i + \mu x'_i) y_i = \lambda \sum x_i y_i + \mu \sum x'_i y_i = \lambda \varphi(X, Y) + \mu \varphi(X', Y)$ .

Étape 4 —

Je vérifie la positivité : pour tout

x \in E

\varphi(x, x) \geq 0

Positivité : $\varphi(X, X) = \sum x_i^2 \geq 0$ comme somme de carrés.

Étape 5 —

Je vérifie le caractère défini :

\varphi(x, x) = 0 \Rightarrow x = 0_E

, et je conclus que

\varphi

est un produit scalaire sur

E

Caractère défini : si $\varphi(X, X) = \sum x_i^2 = 0$ , alors chaque $x_i = 0$ donc $X = 0$ . Ainsi $\varphi$ est le produit scalaire canonique de $\mathbb{R}^n$ .

$\varphi$ est un produit scalaire sur $\mathbb{R}^n$ .

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