Comment montrer qu'une famille… : En appliquant le procédé d'orthonormalis… — ECG2 approfondies | MetMat

Comment montrer qu'une famille est orthogonale puis orthonormale ?

En appliquant le procédé d'orthonormalisation de Schmidt en petite dimension

Approfondissement — Construire une famille orthonormale à partir d'une famille libre donnée via le procédé de Schmidt.

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Hors programme — Cette méthode va au-delà du B.O. officiel. Proposée pour aller plus loin.

Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Dans $\mathbb{R}^2$ canonique, orthonormaliser la famille $v_1 = (1,0)$ , $v_2 = (1,1)$ .

L'objectif

Approfondissement — Construire une famille orthonormale à partir d'une famille libre donnée via le procédé de Schmidt.

Le principe

Étant donné $(v_1,\dots,v_p)$ libre, on construit $(e_1,\dots,e_p)$ orthonormale en posant $e_1 = v_1/\|v_1\|$ puis, pour $k\geq 2$ , $w_k = v_k - \sum_{i<k}\langle v_k,e_i\rangle e_i$ et $e_k = w_k/\|w_k\|$ ; le procédé n'est pas exigible mais se manipule sur des exemples.

La méthode

1
Je vérifie que $(v_1,\dots,v_p)$ est libre, puis je pose $e_1 = \frac{v_1}{\|v_1\|}$ .
2
Pour $k=2$ , je calcule $w_2 = v_2 - \langle v_2,e_1\rangle e_1$ puis $e_2 = \frac{w_2}{\|w_2\|}$ .
3
Pour $k\geq 3$ , je calcule $w_k = v_k - \sum_{i=1}^{k-1}\langle v_k,e_i\rangle e_i$ puis $e_k = \frac{w_k}{\|w_k\|}$ , et je vérifie que la famille obtenue est orthonormale.

Pour comprendre, fais des exercices !

Exercice d'exemple

Dans $\mathbb{R}^2$ canonique, orthonormaliser la famille $v_1 = (1,0)$ , $v_2 = (1,1)$ .

Étape 1 —

Je vérifie que

(v_1,\dots,v_p)

est libre, puis je pose

e_1 = \frac{v_1}{\|v_1\|}

La famille est libre. Je pose $e_1 = \frac{v_1}{\|v_1\|} = (1,0)$ car $\|v_1\|=1$ .

Étape 2 —

Pour

k=2

, je calcule

w_2 = v_2 - \langle v_2,e_1\rangle e_1

puis

e_2 = \frac{w_2}{\|w_2\|}

Je calcule $\langle v_2,e_1\rangle = 1$ , donc $w_2 = v_2 - 1\cdot e_1 = (1,1)-(1,0) = (0,1)$ , puis $\|w_2\|=1$ , d'où $e_2 = (0,1)$ .

Étape 3 —

Pour

k\geq 3

, je calcule

w_k = v_k - \sum_{i=1}^{k-1}\langle v_k,e_i\rangle e_i

puis

e_k = \frac{w_k}{\|w_k\|}

, et je vérifie que la famille obtenue est orthonormale.

La famille $(e_1,e_2) = ((1,0),(0,1))$ est orthonormale.

$(e_1,e_2) = ((1,0),(0,1))$ est la base orthonormale obtenue par Schmidt.

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