Comment montrer qu'une famille… : En partant d'une famille orthogonale et… — ECG2 approfondies | MetMat

Comment montrer qu'une famille est orthogonale puis orthonormale ?

En partant d'une famille orthogonale et en divisant chaque vecteur par sa norme

Construire une famille orthonormale à partir d'une famille orthogonale de vecteurs non nuls en divisant chaque vecteur par sa norme.

Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Normaliser la famille orthogonale $v_1 = (2,0,0)$ , $v_2 = (0,3,4)$ de $\mathbb{R}^3$ muni du produit scalaire canonique.

L'objectif

Construire une famille orthonormale à partir d'une famille orthogonale de vecteurs non nuls en divisant chaque vecteur par sa norme.

Le principe

Si $(v_1,\dots,v_p)$ est orthogonale avec $v_i\neq 0$ pour tout $i$ , alors la famille $\left(\frac{v_i}{\|v_i\|}\right)_{1\leq i\leq p}$ est orthonormale : la division par la norme ne change pas l'orthogonalité et rend chaque vecteur de norme $1$ .

La méthode

1
Je vérifie que la famille de départ $(v_1,\dots,v_p)$ est orthogonale : $\langle v_i,v_j\rangle = 0$ pour tout $i\neq j$ , et que chaque $v_i$ est non nul.
2
Je calcule la norme $\|v_i\| = \sqrt{\langle v_i,v_i\rangle}$ de chaque vecteur.
3
Je pose $e_i = \frac{v_i}{\|v_i\|}$ pour chaque $i$ , et je conclus que $(e_1,\dots,e_p)$ est orthonormale.

Pour comprendre, fais des exercices !

Exercice d'exemple

Normaliser la famille orthogonale $v_1 = (2,0,0)$ , $v_2 = (0,3,4)$ de $\mathbb{R}^3$ muni du produit scalaire canonique.

Étape 1 —

Je vérifie que la famille de départ

(v_1,\dots,v_p)

est orthogonale :

\langle v_i,v_j\rangle = 0

pour tout

i\neq j

, et que chaque

v_i

est non nul.

On a $\langle v_1,v_2\rangle = 2\cdot 0 + 0\cdot 3 + 0\cdot 4 = 0$ , et $v_1,v_2$ sont non nuls : la famille est orthogonale.

Étape 2 —

Je calcule la norme

\|v_i\| = \sqrt{\langle v_i,v_i\rangle}

de chaque vecteur.

Je calcule $\|v_1\| = \sqrt{4} = 2$ et $\|v_2\| = \sqrt{0+9+16} = 5$ .

Étape 3 —

Je pose

e_i = \frac{v_i}{\|v_i\|}

pour chaque

i

, et je conclus que

(e_1,\dots,e_p)

est orthonormale.

Je pose $e_1 = \frac{v_1}{2} = (1,0,0)$ et $e_2 = \frac{v_2}{5} = \left(0,\frac{3}{5},\frac{4}{5}\right)$ : la famille $(e_1,e_2)$ est orthonormale.

$(e_1,e_2) = \left((1,0,0),\left(0,\frac{3}{5},\frac{4}{5}\right)\right)$ est orthonormale.

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