Comment montrer qu'une famille… : En vérifiant langle e_i, e_jrangle = 0… — ECG2 approfondies | MetMat

Comment montrer qu'une famille est orthogonale puis orthonormale ?

En vérifiant $\langle e_i, e_j\rangle = 0$ pour $i\neq j$ puis $\|e_i\| = 1$

Établir qu'une famille $(e_1,\dots,e_p)$ d'un espace euclidien est orthogonale puis orthonormale.

Maîtriser

Reconnaître

Résoudre

Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

On munit $\mathbb{R}^2$ de son produit scalaire canonique. Montrer que la famille $\left(e_1 = \frac{1}{\sqrt{2}}(1,1),\ e_2 = \frac{1}{\sqrt{2}}(1,-1)\right)$ est orthonormale.

L'objectif

Établir qu'une famille $(e_1,\dots,e_p)$ d'un espace euclidien est orthogonale puis orthonormale.

Le principe

Une famille $(e_1,\dots,e_p)$ est orthogonale ssi $\langle e_i,e_j\rangle = 0$ pour tous $i\neq j$ , et orthonormale ssi elle est orthogonale et $\|e_i\|=1$ pour tout $i$ .

La méthode

1
J'identifie clairement les vecteurs $e_1,\dots,e_p$ ainsi que le produit scalaire $\langle\cdot,\cdot\rangle$ utilisé.
2
Pour chaque paire $i<j$ , je calcule $\langle e_i,e_j\rangle$ et je vérifie que le résultat vaut $0$ , ce qui donne l'orthogonalité.
3
Pour chaque $i$ , je calcule $\|e_i\|^2 = \langle e_i,e_i\rangle$ et je vérifie que $\|e_i\| = 1$ ; je conclus que la famille est orthonormale.

Pour comprendre, fais des exercices !

Exercice d'exemple

On munit $\mathbb{R}^2$ de son produit scalaire canonique. Montrer que la famille $\left(e_1 = \frac{1}{\sqrt{2}}(1,1),\ e_2 = \frac{1}{\sqrt{2}}(1,-1)\right)$ est orthonormale.

Étape 1 —

J'identifie clairement les vecteurs

e_1,\dots,e_p

ainsi que le produit scalaire

\langle\cdot,\cdot\rangle

utilisé.

Les vecteurs $e_1,e_2\in\mathbb{R}^2$ sont donnés, et on utilise le produit scalaire canonique $\langle (x_1,x_2),(y_1,y_2)\rangle = x_1 y_1 + x_2 y_2$ .

Étape 2 —

Pour chaque paire

i<j

, je calcule

\langle e_i,e_j\rangle

et je vérifie que le résultat vaut

0

, ce qui donne l'orthogonalité.

Je calcule $\langle e_1,e_2\rangle = \frac{1}{2}(1\cdot 1 + 1\cdot(-1)) = \frac{1}{2}(1-1) = 0$ , donc $e_1\perp e_2$ .

Étape 3 —

Pour chaque

i

, je calcule

\|e_i\|^2 = \langle e_i,e_i\rangle

et je vérifie que

\|e_i\| = 1

; je conclus que la famille est orthonormale.

Je calcule $\|e_1\|^2 = \frac{1}{2}(1+1) = 1$ et $\|e_2\|^2 = \frac{1}{2}(1+1) = 1$ , donc $\|e_1\|=\|e_2\|=1$ : la famille est orthonormale.

La famille $(e_1,e_2)$ est orthonormale pour le produit scalaire canonique de $\mathbb{R}^2$ .

Les applications suivantes et la correction guidée sont réservées aux membres Premium

La méthode et sa première application corrigée restent en accès libre. Le Premium débloque les applications suivantes, l'aide IA et le suivi de ta maîtrise.

Comment montrer qu'une famille est orthogonale puis orthonormale ?

En vérifiant ⟨ei,ej⟩=0\langle e_i, e_j\rangle = 0⟨ei​,ej​⟩=0 pour i≠ji\neq ji=j puis ∥ei∥=1\|e_i\| = 1∥ei​∥=1

Pour comprendre, fais des exercices !

En vérifiant $\langle e_i, e_j\rangle = 0$ pour $i\neq j$ puis $\|e_i\| = 1$