Comment calculer la norme… : En base orthonormée, via \|x\|^2 =… — ECG2 approfondies | MetMat

Comment calculer la norme euclidienne d'un vecteur à partir du produit scalaire ?

En base orthonormée, via $\|x\|^2 = \sum_i \langle x, e_i \rangle^2$

Calculer rapidement $\|x\|$ lorsque les coordonnées de $x$ sont connues dans une base orthonormée.

Maîtriser

Reconnaître

Résoudre

Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Dans $\mathbb{R}^3$ muni du produit scalaire canonique et de la base canonique (orthonormée), calculer $\|x\|$ pour $x$ de coordonnées $(3, 0, 4)$ .

L'objectif

Calculer rapidement $\|x\|$ lorsque les coordonnées de $x$ sont connues dans une base orthonormée.

Le principe

Dans une base orthonormée $(e_1, \ldots, e_n)$ de $E$ , tout vecteur $x$ s'écrit $x = \sum_i \langle x, e_i \rangle e_i$ et $\|x\|^2 = \sum_i \langle x, e_i \rangle^2$ : c'est la formule de Parseval.

La méthode

1
Je vérifie que la base $(e_1, \ldots, e_n)$ est orthonormée : $\langle e_i, e_j \rangle = \delta_{i, j}$ .
2
Je détermine les coordonnées $x_i = \langle x, e_i \rangle$ de $x$ dans cette base.
3
J'applique la formule de Parseval : $\|x\|^2 = \sum_{i=1}^n x_i^2$ .
4
Je prends la racine carrée pour obtenir $\|x\| = \sqrt{\sum_i x_i^2}$ .

Pour comprendre, fais des exercices !

Exercice d'exemple

Dans $\mathbb{R}^3$ muni du produit scalaire canonique et de la base canonique (orthonormée), calculer $\|x\|$ pour $x$ de coordonnées $(3, 0, 4)$ .

Étape 1 —

Je vérifie que la base

(e_1, \ldots, e_n)

est orthonormée :

\langle e_i, e_j \rangle = \delta_{i, j}

La base canonique $(e_1, e_2, e_3)$ vérifie $\langle e_i, e_j \rangle = \delta_{i, j}$ pour le produit scalaire canonique.

Étape 2 —

Je détermine les coordonnées

x_i = \langle x, e_i \rangle

x

dans cette base.

Les coordonnées de $x$ sont $(x_1, x_2, x_3) = (3, 0, 4)$ .

Étape 3 —

J'applique la formule de Parseval :

\|x\|^2 = \sum_{i=1}^n x_i^2

Par Parseval, $\|x\|^2 = 3^2 + 0^2 + 4^2 = 25$ .

Étape 4 —

Je prends la racine carrée pour obtenir

\|x\| = \sqrt{\sum_i x_i^2}

$\|x\| = 5$ .

Les applications suivantes et la correction guidée sont réservées aux membres Premium

La méthode et sa première application corrigée restent en accès libre. Le Premium débloque les applications suivantes, l'aide IA et le suivi de ta maîtrise.

Comment calculer la norme euclidienne d'un vecteur à partir du produit scalaire ?

En base orthonormée, via ∥x∥2=∑i⟨x,ei⟩2\|x\|^2 = \sum_i \langle x, e_i \rangle^2∥x∥2=∑i​⟨x,ei​⟩2

Pour comprendre, fais des exercices !

En base orthonormée, via $\|x\|^2 = \sum_i \langle x, e_i \rangle^2$