Comment appliquer le théorème de Pythagore pour calculer une norme ou établir une égalité ?

En appliquant $\|x+y\|^2 = \|x\|^2 + \|y\|^2$ lorsque $x \perp y$

Calculer $\|x+y\|$ ou établir une relation en exploitant l'orthogonalité de deux vecteurs.

Maîtriser

Reconnaître

Résoudre

Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Dans $\mathbb{R}^2$ canonique, calculer $\|x+y\|$ pour $x = (3,0)$ et $y = (0,4)$ .

L'objectif

Calculer $\|x+y\|$ ou établir une relation en exploitant l'orthogonalité de deux vecteurs.

Le principe

Si $x \perp y$ , alors $\|x+y\|^2 = \|x\|^2 + \|y\|^2$ , conséquence directe du développement $\|x+y\|^2 = \|x\|^2 + 2\langle x, y\rangle + \|y\|^2$ .

La méthode

1
Je vérifie l'hypothèse d'orthogonalité : $\langle x, y \rangle = 0$ (par calcul direct ou argument géométrique).
2
Je développe $\|x+y\|^2 = \|x\|^2 + 2\langle x, y\rangle + \|y\|^2$ .
3
J'utilise $\langle x, y \rangle = 0$ pour simplifier en $\|x+y\|^2 = \|x\|^2 + \|y\|^2$ .
4
Je conclus (valeur de $\|x+y\|$ ou identité cherchée).

Pour comprendre, fais des exercices !

Exercice d'exemple

Dans $\mathbb{R}^2$ canonique, calculer $\|x+y\|$ pour $x = (3,0)$ et $y = (0,4)$ .

Étape 1 —

Je vérifie l'hypothèse d'orthogonalité :

\langle x, y \rangle = 0

(par calcul direct ou argument géométrique).

$\langle x, y \rangle = 3 \cdot 0 + 0 \cdot 4 = 0$ , donc $x \perp y$ .

Étape 2 —

Je développe

\|x+y\|^2 = \|x\|^2 + 2\langle x, y\rangle + \|y\|^2

.

$\|x+y\|^2 = \|x\|^2 + 2\langle x, y\rangle + \|y\|^2 = 9 + 0 + 16 = 25$ .

Étape 3 —

J'utilise

\langle x, y \rangle = 0

pour simplifier en

\|x+y\|^2 = \|x\|^2 + \|y\|^2

.

$\|x+y\|^2 = 25$ , soit $\|x+y\| = 5$ .

Étape 4 —

Je conclus (valeur de

\|x+y\|

ou identité cherchée).

La longueur de la diagonale du rectangle est $\|x+y\| = 5$ .

$\|x+y\| = 5$ .

Les applications suivantes et la correction guidée sont réservées aux membres Premium

La méthode et sa première application corrigée restent en accès libre. Le Premium débloque les applications suivantes, l'aide IA et le suivi de ta maîtrise.

Comment prouver qu'une famille orthogonale ne contenant pas le vecteur nul est libre ?

Comment calculer les coordonnées et la norme d'un vecteur dans une base orthonormée ?

Comment exprimer matriciellement le produit scalaire et la norme en base orthonormée ?

Comment appliquer le théorème de Pythagore pour calculer une norme ou établir une égalité ?

En appliquant ∥x+y∥2=∥x∥2+∥y∥2\|x+y\|^2 = \|x\|^2 + \|y\|^2∥x+y∥2=∥x∥2+∥y∥2 lorsque x⊥yx \perp yx⊥y

Pour comprendre, fais des exercices !

En appliquant $\|x+y\|^2 = \|x\|^2 + \|y\|^2$ lorsque $x \perp y$