Comment appliquer le théorème de Pythagore pour calculer une norme ou établir une égalité ? | MetMat

Comment appliquer le théorème de Pythagore pour calculer une norme ou établir une égalité ?

En utilisant la réciproque pour prouver l'orthogonalité

Démontrer l'orthogonalité $x \perp y$ en observant $\|x+y\|^2 = \|x\|^2 + \|y\|^2$ .

Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Soient $x, y$ deux vecteurs d'un espace euclidien tels que $\|x\| = 3$ , $\|y\| = 4$ et $\|x+y\| = 5$ . Montrer que $x \perp y$ .

L'objectif

Démontrer l'orthogonalité $x \perp y$ en observant $\|x+y\|^2 = \|x\|^2 + \|y\|^2$ .

Le principe

Dans un espace euclidien, $\|x+y\|^2 = \|x\|^2 + \|y\|^2 \iff \langle x, y\rangle = 0$ : l'équivalence découle de l'identité $\|x+y\|^2 = \|x\|^2 + 2\langle x,y\rangle + \|y\|^2$ .

La méthode

1
Je calcule ou je constate l'égalité $\|x+y\|^2 = \|x\|^2 + \|y\|^2$ .
2
J'applique l'identité générale $\|x+y\|^2 = \|x\|^2 + 2\langle x, y\rangle + \|y\|^2$ .
3
Par différence, j'obtiens $2\langle x, y\rangle = 0$ , soit $\langle x, y\rangle = 0$ .
4
Je conclus que $x$ et $y$ sont orthogonaux.
Comment montrer que deux vecteurs ou deux sous-espaces sont orthogonaux ?Voir

Pour comprendre, fais des exercices !

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Exercice d'exemple

Soient $x, y$ deux vecteurs d'un espace euclidien tels que $\|x\| = 3$ , $\|y\| = 4$ et $\|x+y\| = 5$ . Montrer que $x \perp y$ .

Étape 1 —

Je calcule ou je constate l'égalité

\|x+y\|^2 = \|x\|^2 + \|y\|^2

$\|x+y\|^2 = 25 = 9 + 16 = \|x\|^2 + \|y\|^2$ .

Étape 2 —

J'applique l'identité générale

\|x+y\|^2 = \|x\|^2 + 2\langle x, y\rangle + \|y\|^2

Or $\|x+y\|^2 = \|x\|^2 + 2\langle x, y\rangle + \|y\|^2$ .

Étape 3 —

Par différence, j'obtiens

2\langle x, y\rangle = 0

, soit

\langle x, y\rangle = 0

Donc $2\langle x, y\rangle = \|x+y\|^2 - \|x\|^2 - \|y\|^2 = 0$ .

Étape 4 —

Je conclus que

x

y

sont orthogonaux.

Ainsi $\langle x, y\rangle = 0$ , soit $x \perp y$ .

$x \perp y$ .

Application guidée

Soient $x, y$ deux vecteurs d'un espace euclidien vérifiant $\|x+y\|^2 = \|x-y\|^2$ . Montrer que $x \perp y$ .

Application autonome 1

Soient $x, y, z$ dans un espace euclidien avec $\|x\| = 1$ , $\|y\| = 1$ , $\|z\| = 1$ et $\|x+y+z\|^2 = 3$ . Montrer que $x, y, z$ sont deux à deux orthogonaux.

Application autonome 2

Soient $x, y$ deux vecteurs d'un espace euclidien avec $\|x\| = 5$ , $\|y\| = 12$ et $\|x - y\| = 13$ . Montrer que $x \perp y$ .

Application autonome 3

Soient $u, v, w$ trois vecteurs d'un espace euclidien unitaires tels que $\|u + v\|^2 = 2$ , $\|u + w\|^2 = 2$ , $\|v + w\|^2 = 2$ . Montrer que $u, v, w$ sont deux à deux orthogonaux.

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