Comment vérifier qu'une… : En reconnaissant un produit scalaire… — ECG2 approfondies | MetMat

Comment vérifier qu'une application est un produit scalaire ?

En reconnaissant un produit scalaire connu (canonique, intégral, trace)

Identifier rapidement $\varphi$ comme un produit scalaire classique sans refaire toutes les vérifications.

Maîtriser

Reconnaître

Résoudre

Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Montrer que $\varphi : (X, Y) \mapsto {}^t\!X Y$ est un produit scalaire sur $\mathcal{M}_{n, 1}(\mathbb{R})$ .

L'objectif

Identifier rapidement $\varphi$ comme un produit scalaire classique sans refaire toutes les vérifications.

Le principe

Certains produits scalaires sont classiques et leurs propriétés sont admises au programme : le produit scalaire canonique $\langle X, Y \rangle = {}^t\!X Y$ sur $\mathbb{R}^n$ , le produit scalaire intégral $\langle f, g \rangle = \int_a^b f(t) g(t) \mathrm{d}t$ sur un espace de fonctions continues, et $\langle A, B \rangle = \mathrm{Tr}({}^t\!A B)$ sur $\mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ .

La méthode

1
J'identifie le contexte : espace vectoriel $E$ (numérique, polynomial, matriciel ou fonctionnel).
2
Je reformule $\varphi$ dans une des formes classiques : somme $\sum x_i y_i$ , intégrale $\int fg$ , ou trace $\mathrm{Tr}({}^t\!A B)$ .
3
Je cite le résultat du cours correspondant : il s'agit d'un produit scalaire de référence.
4
Je conclus que $\varphi$ est un produit scalaire sur $E$ .

Pour comprendre, fais des exercices !

Exercice d'exemple

Montrer que $\varphi : (X, Y) \mapsto {}^t\!X Y$ est un produit scalaire sur $\mathcal{M}_{n, 1}(\mathbb{R})$ .

Étape 1 —

J'identifie le contexte : espace vectoriel

E

(numérique, polynomial, matriciel ou fonctionnel).

$E = \mathcal{M}_{n, 1}(\mathbb{R})$ , espace des matrices colonnes à $n$ lignes.

Étape 2 —

Je reformule

\varphi

dans une des formes classiques : somme

\sum x_i y_i

, intégrale

\int fg

, ou trace

\mathrm{Tr}({}^t\!A B)

$\varphi(X, Y) = {}^t\!X Y = \sum_{i=1}^n x_i y_i$ , qui est exactement la forme du produit scalaire canonique.

Étape 3 —

Je cite le résultat du cours correspondant : il s'agit d'un produit scalaire de référence.

C'est le produit scalaire canonique de $\mathcal{M}_{n, 1}(\mathbb{R})$ , produit scalaire de référence du cours.

Étape 4 —

Je conclus que

\varphi

est un produit scalaire sur

E

Donc $\varphi$ est un produit scalaire sur $\mathcal{M}_{n, 1}(\mathbb{R})$ .

$\varphi$ est le produit scalaire canonique sur $\mathcal{M}_{n, 1}(\mathbb{R})$ .

Les applications suivantes et la correction guidée sont réservées aux membres Premium

La méthode et sa première application corrigée restent en accès libre. Le Premium débloque les applications suivantes, l'aide IA et le suivi de ta maîtrise.