Comment compléter une famille… : En complétant en base quelconque puis… — ECG2 approfondies | MetMat

Comment compléter une famille orthonormée en une base orthonormée d'un espace euclidien ?

En complétant en base quelconque puis en orthonormalisant (Schmidt)

Obtenir une base orthonormée de $E$ prolongeant une famille orthonormée déjà donnée.

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Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Dans $\mathbb{R}^3$ muni du produit scalaire canonique, compléter la famille $\left(e_1 = \tfrac{1}{\sqrt{5}}(1, 2, 0)\right)$ en une base orthonormée par Gram-Schmidt.

L'objectif

Obtenir une base orthonormée de $E$ prolongeant une famille orthonormée déjà donnée.

Le principe

Toute famille libre d'un espace de dimension finie peut être complétée en base ; Gram-Schmidt appliqué à la partie ajoutée, en conservant les $e_i$ initiaux, produit une base orthonormée.

La méthode

1
Je vérifie que la famille $(e_1,\ldots,e_k)$ est bien orthonormée : $\langle e_i, e_j \rangle = \delta_{ij}$ , et donc libre.
2
Je complète $(e_1,\ldots,e_k)$ par des vecteurs $v_{k+1},\ldots,v_n$ choisis simplement pour former une base (souvent des vecteurs de la base canonique) et je vérifie l'indépendance.
3
J'applique Gram-Schmidt aux vecteurs ajoutés : pour $j$ de $k+1$ à $n$ , je pose $w_j = v_j - \sum_{i=1}^{j-1} \langle v_j, e_i \rangle e_i$ puis $e_j = w_j/\|w_j\|$ .
4
Je conclus que $(e_1,\ldots,e_n)$ est une base orthonormée de $E$ prolongeant la famille initiale.

Pour comprendre, fais des exercices !

Exercice d'exemple

Dans $\mathbb{R}^3$ muni du produit scalaire canonique, compléter la famille $\left(e_1 = \tfrac{1}{\sqrt{5}}(1, 2, 0)\right)$ en une base orthonormée par Gram-Schmidt.

Étape 1 —

Je vérifie que la famille

(e_1,\ldots,e_k)

est bien orthonormée :

\langle e_i, e_j \rangle = \delta_{ij}

, et donc libre.

$e_1 = \tfrac{1}{\sqrt{5}}(1, 2, 0)$ est déjà normée : $\|e_1\|^2 = \tfrac{1}{5}(1 + 4) = 1$ .

Étape 2 —

Je complète

(e_1,\ldots,e_k)

par des vecteurs

v_{k+1},\ldots,v_n

choisis simplement pour former une base (souvent des vecteurs de la base canonique) et je vérifie l'indépendance.

On complète par $v_2 = (0, 0, 1)$ : $\langle v_2, e_1\rangle = 0$ , donc $w_2 = v_2$ et $e_2 = (0, 0, 1)$ .

Étape 3 —

J'applique Gram-Schmidt aux vecteurs ajoutés : pour

j

k+1

n

, je pose

w_j = v_j - \sum_{i=1}^{j-1} \langle v_j, e_i \rangle e_i

puis

e_j = w_j/\|w_j\|

Pour $v_3 = (1, 0, 0)$ : $\langle v_3, e_1\rangle = \tfrac{1}{\sqrt{5}}$ , donc $w_3 = (1, 0, 0) - \tfrac{1}{5}(1, 2, 0) = \tfrac{1}{5}(4, -2, 0)$ . Comme $\langle v_3, e_2\rangle = 0$ , on a $\|w_3\| = \tfrac{2}{\sqrt{5}}$ , donc $e_3 = \tfrac{1}{\sqrt{5}}(2, -1, 0)$ .

Étape 4 —

Je conclus que

(e_1,\ldots,e_n)

est une base orthonormée de

E

prolongeant la famille initiale.

$(e_1, e_2, e_3)$ est une base orthonormée de $\mathbb{R}^3$ .

$e_2 = (0, 0, 1)$ , $e_3 = \tfrac{1}{\sqrt{5}}(2, -1, 0)$ .

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