Comment calculer les… : En résolvant le système linéaire X_ B =… — ECG2 approfondies | MetMat

Comment calculer les coordonnées et la norme d'un vecteur dans une base orthonormée ?

En résolvant le système linéaire $X_{\mathcal{B}} = P\, X_{\mathcal{B}'}$ de matrice de passage

Déterminer les coordonnées d'un vecteur $x$ dans une base orthonormée $\mathcal{B}' = (e'_1,\dots,e'_n)$ en résolvant un système linéaire.

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Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Dans $\mathbb{R}^2$ canonique, soit $\mathcal{B}' = \left(e'_1,e'_2\right) = \left(\frac{1}{\sqrt 2}(1,1),\frac{1}{\sqrt 2}(1,-1)\right)$ . Déterminer les coordonnées de $x=(3,1)$ dans $\mathcal{B}'$ par résolution du système.

L'objectif

Déterminer les coordonnées d'un vecteur $x$ dans une base orthonormée $\mathcal{B}' = (e'_1,\dots,e'_n)$ en résolvant un système linéaire.

Le principe

Si $\mathcal{B}$ est la base canonique, $\mathcal{B}'$ une base orthonormée et $P$ la matrice de passage de $\mathcal{B}$ vers $\mathcal{B}'$ , alors $X_{\mathcal{B}} = P\,X_{\mathcal{B}'}$ ; on obtient les coordonnées dans $\mathcal{B}'$ en résolvant ce système (équivalent à utiliser $P^{-1} = {}^t\!P$ car $P$ est orthogonale).

La méthode

1
J'écris la matrice de passage $P$ de $\mathcal{B}$ vers $\mathcal{B}'$ en mettant en colonnes les coordonnées dans $\mathcal{B}$ des vecteurs de $\mathcal{B}'$ .
Comment déterminer la matrice de passage entre deux bases d'un espace vectoriel ?Voir
2
Je pose le système $X_{\mathcal{B}} = P\,X_{\mathcal{B}'}$ où $X_{\mathcal{B}}$ contient les coordonnées connues de $x$ dans $\mathcal{B}$ .
3
Je résous le système (par méthode de Gauss ou en utilisant $P^{-1} = {}^t\!P$ lorsque $\mathcal{B}'$ est orthonormée) pour obtenir $X_{\mathcal{B}'}$ , puis je calcule la norme par $\|x\|^2 = \sum_i (X_{\mathcal{B}'})_i^2$ .

Pour comprendre, fais des exercices !

Exercice d'exemple

Étape 1 —

J'écris la matrice de passage

P

\mathcal{B}

vers

\mathcal{B}'

en mettant en colonnes les coordonnées dans

\mathcal{B}

des vecteurs de

\mathcal{B}'

La matrice de passage de la base canonique vers $\mathcal{B}'$ est $P = \frac{1}{\sqrt 2}\begin{pmatrix}1 & 1\\ 1 & -1\end{pmatrix}$ .

Étape 2 —

Je pose le système

X_{\mathcal{B}} = P\,X_{\mathcal{B}'}

où

X_{\mathcal{B}}

contient les coordonnées connues de

x

dans

\mathcal{B}

Je pose $X_{\mathcal{B}'} = (\alpha_1,\alpha_2)^T$ et j'écris le système $\begin{pmatrix}3\\ 1\end{pmatrix} = \frac{1}{\sqrt 2}\begin{pmatrix}1 & 1\\ 1 & -1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}\alpha_1\\ \alpha_2\end{pmatrix}$ , soit $\alpha_1+\alpha_2 = 3\sqrt 2$ et $\alpha_1-\alpha_2 = \sqrt 2$ .

Étape 3 —

Je résous le système (par méthode de Gauss ou en utilisant

P^{-1} = {}^t\!P

lorsque

\mathcal{B}'

est orthonormée) pour obtenir

X_{\mathcal{B}'}

, puis je calcule la norme par

\|x\|^2 = \sum_i (X_{\mathcal{B}'})_i^2

La résolution donne $\alpha_1 = 2\sqrt 2$ et $\alpha_2 = \sqrt 2$ , puis $\|x\|^2 = 8+2 = 10$ , donc $\|x\|=\sqrt{10}$ .

$x$ a pour coordonnées $(2\sqrt 2,\sqrt 2)$ dans $\mathcal{B}'$ et $\|x\| = \sqrt{10}$ .

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Comment calculer les coordonnées et la norme d'un vecteur dans une base orthonormée ?

En résolvant le système linéaire XB=P XB′X_{\mathcal{B}} = P\, X_{\mathcal{B}'}XB​=PXB′​ de matrice de passage

Pour comprendre, fais des exercices !

En résolvant le système linéaire $X_{\mathcal{B}} = P\, X_{\mathcal{B}'}$ de matrice de passage