Comment calculer les… : En utilisant x = sum_i langle… — ECG2 approfondies | MetMat

Comment calculer les coordonnées et la norme d'un vecteur dans une base orthonormée ?

En utilisant $x = \sum_i \langle x,e_i\rangle e_i$ pour lire les coordonnées et $\|x\|^2 = \sum_i \langle x,e_i\rangle^2$

Déterminer les coordonnées et la norme d'un vecteur $x$ d'un espace euclidien dans une base orthonormée $(e_1,\dots,e_n)$ .

Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Dans $\mathbb{R}^2$ canonique, on pose $e_1 = \frac{1}{\sqrt 2}(1,1)$ et $e_2 = \frac{1}{\sqrt 2}(1,-1)$ . Déterminer les coordonnées de $x = (3,1)$ dans $\mathcal{B} = (e_1,e_2)$ ainsi que $\|x\|$ .

L'objectif

Déterminer les coordonnées et la norme d'un vecteur $x$ d'un espace euclidien dans une base orthonormée $(e_1,\dots,e_n)$ .

Le principe

Si $\mathcal{B} = (e_1,\dots,e_n)$ est orthonormée et $x\in E$ , alors $x = \sum_{i=1}^n \langle x,e_i\rangle e_i$ et $\|x\|^2 = \sum_{i=1}^n \langle x,e_i\rangle^2$ (Parseval) : les coordonnées de $x$ dans $\mathcal{B}$ sont directement les produits scalaires $\langle x,e_i\rangle$ .

La méthode

1
Je vérifie que la base $\mathcal{B} = (e_1,\dots,e_n)$ est bien orthonormée et j'identifie le vecteur $x$ dont je veux les coordonnées.
2
Pour chaque $i$ , je calcule $\alpha_i = \langle x,e_i\rangle$ : les $\alpha_i$ sont les coordonnées de $x$ dans $\mathcal{B}$ et $x = \sum_i \alpha_i e_i$ .
3
Je calcule $\|x\|^2 = \sum_{i=1}^n \alpha_i^2$ par la formule de Parseval, puis je conclus en donnant les coordonnées et la norme.

Pour comprendre, fais des exercices !

Exercice d'exemple

Étape 1 —

Je vérifie que la base

\mathcal{B} = (e_1,\dots,e_n)

est bien orthonormée et j'identifie le vecteur

x

dont je veux les coordonnées.

$(e_1,e_2)$ est orthonormée (vérifié au préalable), et $x = (3,1)$ .

Étape 2 —

Pour chaque

i

, je calcule

\alpha_i = \langle x,e_i\rangle

: les

\alpha_i

sont les coordonnées de

x

dans

\mathcal{B}

x = \sum_i \alpha_i e_i

Je calcule $\alpha_1 = \langle x,e_1\rangle = \frac{1}{\sqrt 2}(3+1) = \frac{4}{\sqrt 2} = 2\sqrt 2$ et $\alpha_2 = \langle x,e_2\rangle = \frac{1}{\sqrt 2}(3-1) = \sqrt 2$ , donc $x = 2\sqrt 2\, e_1 + \sqrt 2\, e_2$ .

Étape 3 —

Je calcule

\|x\|^2 = \sum_{i=1}^n \alpha_i^2

par la formule de Parseval, puis je conclus en donnant les coordonnées et la norme.

Par Parseval, $\|x\|^2 = (2\sqrt 2)^2 + (\sqrt 2)^2 = 8+2 = 10$ , donc $\|x\| = \sqrt{10}$ (on retrouve bien $\sqrt{3^2+1^2}$ ).

Dans $\mathcal{B}$ , $x$ a pour coordonnées $(2\sqrt 2, \sqrt 2)$ et $\|x\| = \sqrt{10}$ .

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Comment calculer les coordonnées et la norme d'un vecteur dans une base orthonormée ?

En utilisant x=∑i⟨x,ei⟩eix = \sum_i \langle x,e_i\rangle e_ix=∑i​⟨x,ei​⟩ei​ pour lire les coordonnées et ∥x∥2=∑i⟨x,ei⟩2\|x\|^2 = \sum_i \langle x,e_i\rangle^2∥x∥2=∑i​⟨x,ei​⟩2

Pour comprendre, fais des exercices !

En utilisant $x = \sum_i \langle x,e_i\rangle e_i$ pour lire les coordonnées et $\|x\|^2 = \sum_i \langle x,e_i\rangle^2$