Comment appliquer l'inégalité… : En identifiant le cas d'égalité par… — ECG2 approfondies | MetMat

Comment appliquer l'inégalité de Cauchy-Schwarz et identifier le cas d'égalité ?

En identifiant le cas d'égalité par colinéarité

Exploiter l'égalité dans Cauchy-Schwarz pour conclure à la colinéarité de deux vecteurs (ou réciproquement identifier les cas où l'inégalité est saturée).

Maîtriser

Reconnaître

Résoudre

Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Dans $\mathbb{R}^n$ muni du produit scalaire canonique, étudier le cas d'égalité dans $\left( \sum a_k \right)^2 \leq n \sum a_k^2$ .

L'objectif

Exploiter l'égalité dans Cauchy-Schwarz pour conclure à la colinéarité de deux vecteurs (ou réciproquement identifier les cas où l'inégalité est saturée).

Le principe

Pour $x, y$ dans un espace euclidien, on a $|\langle x, y \rangle| = \|x\| \|y\|$ si et seulement si $x$ et $y$ sont colinéaires (i.e. il existe $\lambda \in \mathbb{R}$ tel que $y = \lambda x$ , ou $x = 0$ ).

La méthode

1
Je suppose (ou je constate) l'égalité $|\langle x, y \rangle| = \|x\| \|y\|$ .
2
J'applique le résultat du cours : l'égalité dans Cauchy-Schwarz équivaut à la colinéarité de $x$ et $y$ .
3
Je traduis la colinéarité : il existe $\lambda \in \mathbb{R}$ tel que $y = \lambda x$ (en supposant $x \neq 0$ ).
4
Je détermine $\lambda$ à partir des données (par exemple en identifiant une coordonnée ou en comparant les normes) et je conclus.

Pour comprendre, fais des exercices !

Exercice d'exemple

Dans $\mathbb{R}^n$ muni du produit scalaire canonique, étudier le cas d'égalité dans $\left( \sum a_k \right)^2 \leq n \sum a_k^2$ .

Étape 1 —

Je suppose (ou je constate) l'égalité

|\langle x, y \rangle| = \|x\| \|y\|

Avec $x = (a_1, \ldots, a_n)$ et $y = (1, \ldots, 1)$ , l'égalité $\left( \sum a_k \right)^2 = n \sum a_k^2$ équivaut à $|\langle x, y \rangle| = \|x\| \|y\|$ .

Étape 2 —

J'applique le résultat du cours : l'égalité dans Cauchy-Schwarz équivaut à la colinéarité de

x

y

Par le cas d'égalité de Cauchy-Schwarz, cela équivaut à la colinéarité de $x$ et $y$ .

Étape 3 —

Je traduis la colinéarité : il existe

\lambda \in \mathbb{R}

tel que

y = \lambda x

(en supposant

x \neq 0

Il existe alors $\lambda \in \mathbb{R}$ tel que $x = \lambda y$ , soit $a_k = \lambda$ pour tout $k$ : les $a_k$ sont tous égaux.

Étape 4 —

Je détermine

\lambda

à partir des données (par exemple en identifiant une coordonnée ou en comparant les normes) et je conclus.

Il y a égalité si et seulement si $a_1 = a_2 = \cdots = a_n$ .

Égalité si et seulement si $a_1 = \cdots = a_n$ .

Les applications suivantes et la correction guidée sont réservées aux membres Premium

La méthode et sa première application corrigée restent en accès libre. Le Premium débloque les applications suivantes, l'aide IA et le suivi de ta maîtrise.