Comment calculer la norme euclidienne d'un vecteur à partir du produit scalaire ?

En utilisant la définition $\|x\| = \sqrt{\langle x, x \rangle}$

Calculer la norme $\|x\|$ d'un vecteur $x$ d'un espace euclidien $(E, \langle \cdot, \cdot \rangle)$ .

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Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Dans $\mathbb{R}^3$ muni du produit scalaire canonique, calculer $\|x\|$ pour $x = (1, -2, 2)$ .

L'objectif

Calculer la norme $\|x\|$ d'un vecteur $x$ d'un espace euclidien $(E, \langle \cdot, \cdot \rangle)$ .

Le principe

Dans un espace euclidien, la norme associée au produit scalaire est définie par $\|x\| = \sqrt{\langle x, x \rangle}$ ; elle est bien définie car $\langle x, x \rangle \geq 0$ .

La méthode

1
Je rappelle l'expression du produit scalaire sur l'espace $E$ considéré.
2
Je calcule $\langle x, x \rangle$ en utilisant la formule du produit scalaire pour les vecteurs concrets.
3
Je vérifie que $\langle x, x \rangle \geq 0$ puis je pose $\|x\| = \sqrt{\langle x, x \rangle}$ .
4
Je donne la valeur exacte (éventuellement simplifiée) de $\|x\|$ .

Pour comprendre, fais des exercices !

Exercice d'exemple

Dans $\mathbb{R}^3$ muni du produit scalaire canonique, calculer $\|x\|$ pour $x = (1, -2, 2)$ .

Étape 1 —

Je rappelle l'expression du produit scalaire sur l'espace

E

considéré.

Le produit scalaire canonique sur $\mathbb{R}^3$ est $\langle x, y \rangle = x_1 y_1 + x_2 y_2 + x_3 y_3$ .

Étape 2 —

Je calcule

\langle x, x \rangle

en utilisant la formule du produit scalaire pour les vecteurs concrets.

$\langle x, x \rangle = 1^2 + (-2)^2 + 2^2 = 1 + 4 + 4 = 9$ .

Étape 3 —

Je vérifie que

\langle x, x \rangle \geq 0

puis je pose

\|x\| = \sqrt{\langle x, x \rangle}

.

On a $9 \geq 0$ , donc $\|x\| = \sqrt{9}$ .

Étape 4 —

Je donne la valeur exacte (éventuellement simplifiée) de

\|x\|

.

$\|x\| = 3$ .

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En utilisant la définition $\|x\| = \sqrt{\langle x, x \rangle}$