Comment exprimer matriciellement… : En utilisant langle x,yrangle = ^t XY… — ECG2 approfondies | MetMat

Comment exprimer matriciellement le produit scalaire et la norme en base orthonormée ?

En utilisant $\langle x,y\rangle = {}^t\!XY$ en base orthonormée

Calculer le produit scalaire $\langle x,y\rangle$ en utilisant les colonnes coordonnées dans une base orthonormée.

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Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Dans $\mathbb{R}^3$ canonique (base orthonormée), calculer $\langle x,y\rangle$ avec $x=(1,2,-1)$ et $y=(3,0,4)$ .

L'objectif

Calculer le produit scalaire $\langle x,y\rangle$ en utilisant les colonnes coordonnées dans une base orthonormée.

Le principe

Si $\mathcal{B}$ est une base orthonormée et $X,Y$ sont les colonnes coordonnées respectives de $x,y$ dans $\mathcal{B}$ , alors $\langle x,y\rangle = {}^t\!X Y = \sum_{i=1}^n x_i y_i$ ; cette formule n'est valide qu'en base orthonormée.

La méthode

1
Je vérifie que la base $\mathcal{B}$ utilisée est orthonormée : sans cette hypothèse, la formule ${}^t\!XY$ ne donne pas $\langle x,y\rangle$ .
2
J'écris les colonnes coordonnées $X$ de $x$ et $Y$ de $y$ dans $\mathcal{B}$ .
3
Je calcule $\langle x,y\rangle = {}^t\!XY = \sum_{i=1}^n X_i Y_i$ et je conclus.

Pour comprendre, fais des exercices !

Exercice d'exemple

Dans $\mathbb{R}^3$ canonique (base orthonormée), calculer $\langle x,y\rangle$ avec $x=(1,2,-1)$ et $y=(3,0,4)$ .

Étape 1 —

Je vérifie que la base

\mathcal{B}

utilisée est orthonormée : sans cette hypothèse, la formule

{}^t\!XY

ne donne pas

\langle x,y\rangle

La base canonique de $\mathbb{R}^3$ est orthonormée pour le produit scalaire canonique.

Étape 2 —

J'écris les colonnes coordonnées

X

x

Y

y

dans

\mathcal{B}

Je pose $X = \begin{pmatrix}1\\ 2\\ -1\end{pmatrix}$ et $Y = \begin{pmatrix}3\\ 0\\ 4\end{pmatrix}$ .

Étape 3 —

Je calcule

\langle x,y\rangle = {}^t\!XY = \sum_{i=1}^n X_i Y_i

et je conclus.

Alors $\langle x,y\rangle = {}^t\!XY = 1\cdot 3 + 2\cdot 0 + (-1)\cdot 4 = -1$ .

$\langle x,y\rangle = -1$ .

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Comment exprimer matriciellement le produit scalaire et la norme en base orthonormée ?

En utilisant ⟨x,y⟩=t ⁣XY\langle x,y\rangle = {}^t\!XY⟨x,y⟩=tXY en base orthonormée

Pour comprendre, fais des exercices !

En utilisant $\langle x,y\rangle = {}^t\!XY$ en base orthonormée