Comment montrer qu'une suite $(X_n)$ converge en loi vers $X$ à partir des fonctions de répartition ? | MetMat

Comment montrer qu'une suite $(X_n)$ converge en loi vers $X$ à partir des fonctions de répartition ?

En revenant à la définition : $F_{X_n}(x) \to F_X(x)$ en tout point $x$ de continuité de $F_X$

Établir $X_n \xrightarrow{\mathcal{L}} X$ en prouvant la convergence ponctuelle $F_{X_n}(x) \to F_X(x)$ pour tout $x$ où $F_X$ est continue.

Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Soit $X_n \sim \mathcal{U}([0, 1 + 1/n])$ . Montrer que $X_n \xrightarrow{\mathcal{L}} X$ avec $X \sim \mathcal{U}([0,1])$ .

L'objectif

Établir $X_n \xrightarrow{\mathcal{L}} X$ en prouvant la convergence ponctuelle $F_{X_n}(x) \to F_X(x)$ pour tout $x$ où $F_X$ est continue.

Le principe

Par définition, $(X_n)$ converge en loi vers $X$ si et seulement si $F_{X_n}(x) \to F_X(x)$ pour tout point $x$ de continuité de $F_X$ ; on exclut systématiquement du raisonnement les points de discontinuité éventuels de $F_X$ .

La méthode

1
J'identifie la fonction de répartition $F_X$ de la limite supposée et je repère ses points de continuité (tout $\mathbb{R}$ si $X$ est à densité).
2
Je fixe $x$ un point de continuité de $F_X$ et j'écris explicitement $F_{X_n}(x) = P(X_n \leq x)$ à partir de la loi de $X_n$ .
3
J'étudie la limite de $F_{X_n}(x)$ quand $n \to +\infty$ et je montre qu'elle vaut $F_X(x)$ .
4
Je conclus : la convergence étant valable en tout point de continuité de $F_X$ , $X_n \xrightarrow{\mathcal{L}} X$ .

Pour comprendre, fais des exercices !

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Exercice d'exemple

Soit $X_n \sim \mathcal{U}([0, 1 + 1/n])$ . Montrer que $X_n \xrightarrow{\mathcal{L}} X$ avec $X \sim \mathcal{U}([0,1])$ .

Étape 1 —

J'identifie la fonction de répartition

F_X

de la limite supposée et je repère ses points de continuité (tout

\mathbb{R}

X

est à densité).

$X \sim \mathcal{U}([0,1])$ a pour FdR $F_X$ continue sur $\mathbb{R}$ (valant $0$ sur $]-\infty,0]$ , $x$ sur $[0,1]$ , $1$ sur $[1,+\infty[$ ).

Étape 2 —

Je fixe

x

un point de continuité de

F_X

et j'écris explicitement

F_{X_n}(x) = P(X_n \leq x)

à partir de la loi de

X_n

Je fixe $x \in \mathbb{R}$ : pour $x \leq 0$ , $F_{X_n}(x) = 0$ ; pour $x \geq 1 + 1/n$ , $F_{X_n}(x) = 1$ ; pour $x \in [0, 1 + 1/n]$ , $F_{X_n}(x) = \dfrac{x}{1 + 1/n}$ .

Étape 3 —

J'étudie la limite de

F_{X_n}(x)

quand

n \to +\infty

et je montre qu'elle vaut

F_X(x)

Pour $x \in ]0, 1[$ , à partir d'un certain rang $x < 1 + 1/n$ donc $F_{X_n}(x) = \dfrac{x}{1 + 1/n} \to x = F_X(x)$ ; pour $x \leq 0$ , $F_{X_n}(x) = 0 = F_X(x)$ ; pour $x > 1$ , $F_{X_n}(x) \to 1 = F_X(x)$ .

Étape 4 —

Je conclus : la convergence étant valable en tout point de continuité de

F_X

X_n \xrightarrow{\mathcal{L}} X

$F_X$ est continue en tout point, donc $X_n \xrightarrow{\mathcal{L}} X$ .

$X_n \xrightarrow{\mathcal{L}} \mathcal{U}([0,1])$ .

Application guidée

Soit $X_n \sim \mathcal{E}(1 + 1/n)$ . Montrer que $X_n \xrightarrow{\mathcal{L}} X$ avec $X \sim \mathcal{E}(1)$ .

Application autonome 1

Soit $M_n = \max(U_1, \dots, U_n)$ où les $U_i$ sont i.i.d. de loi $\mathcal{U}([0,1])$ . Montrer que $n(1 - M_n) \xrightarrow{\mathcal{L}} \mathcal{E}(1)$ .

Application autonome 2

Soit $X_n \sim \mathcal{N}(0, 1/n)$ . Montrer que $X_n \xrightarrow{\mathcal{L}} 0$ (variable constante égale à $0$ ).

Application autonome 3

Soit $X_n$ de fdr $F_n(x) = (1 - 1/n)\mathbf{1}_{x \geq 0} + (1/n) \mathbf{1}_{x \geq 1}$ , à valeurs dans $\{0, 1\}$ . Montrer que $X_n \xrightarrow{\mathcal{L}} X$ avec $X$ constante égale à $0$ .

Crée ton compte pour accéder à la fiche et aux exercices

En revenant à la définition : FXn(x)→FX(x)F_{X_n}(x) \to F_X(x)FXn​​(x)→FX​(x) en tout point xxx de continuité de FXF_XFX​

Pour comprendre, fais des exercices !

En revenant à la définition : $F_{X_n}(x) \to F_X(x)$ en tout point $x$ de continuité de $F_X$