Comment montrer qu'une suite $(X_n)$ converge en loi vers $X$ à partir des fonctions de répartition ?

En revenant à la définition : $F_{X_n}(x) \to F_X(x)$ en tout point $x$ de continuité de $F_X$

L'objectif

Établir $X_n \xrightarrow{\mathcal{L}} X$ en prouvant la convergence ponctuelle $F_{X_n}(x) \to F_X(x)$ pour tout $x$ où $F_X$ est continue.

Le principe

Par définition, $(X_n)$ converge en loi vers $X$ si et seulement si $F_{X_n}(x) \to F_X(x)$ pour tout point $x$ de continuité de $F_X$ ; on exclut systématiquement du raisonnement les points de discontinuité éventuels de $F_X$ .

La méthode

1
J'identifie la fonction de répartition $F_X$ de la limite supposée et je repère ses points de continuité (tout $\mathbb{R}$ si $X$ est à densité).
2
Je fixe $x$ un point de continuité de $F_X$ et j'écris explicitement $F_{X_n}(x) = P(X_n \leq x)$ à partir de la loi de $X_n$ .
3
J'étudie la limite de $F_{X_n}(x)$ quand $n \to +\infty$ et je montre qu'elle vaut $F_X(x)$ .
4
Je conclus : la convergence étant valable en tout point de continuité de $F_X$ , $X_n \xrightarrow{\mathcal{L}} X$ .

Exemple corrigé

Difficulté croissante de 1 à 4

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En revenant à la définition : FXn(x)→FX(x)F_{X_n}(x) \to F_X(x)FXn​​(x)→FX​(x) en tout point xxx de continuité de FXF_XFX​

Exemple corrigé

En revenant à la définition : $F_{X_n}(x) \to F_X(x)$ en tout point $x$ de continuité de $F_X$