Comment démontrer qu'une… : En vérifiant Omega ouvert convexe et… — ECG2 approfondies | MetMat

Comment démontrer qu'une fonction admet un extremum global sur un ouvert convexe via le signe du spectre de $\nabla^2 f$ ?

En vérifiant $\Omega$ ouvert convexe et $\mathrm{Sp}(\nabla^2 f(x))\subset \mathbb{R}_+$ (resp. $\mathbb{R}_-$ ) en tout point

Démontrer qu'un point critique est un extremum global en vérifiant la convexité du domaine et le signe uniforme du spectre de $\nabla^2 f$ .

Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Montrer que $(0,0)$ est un minimum global de $f(x,y) = x^2 + y^2 + x y$ sur $\mathbb{R}^2$ .

L'objectif

Démontrer qu'un point critique est un extremum global en vérifiant la convexité du domaine et le signe uniforme du spectre de $\nabla^2 f$ .

Le principe

Le cours admet : si $\Omega \subset \mathbb{R}^n$ est un ouvert convexe et $f:\Omega\to \mathbb{R}$ est $\mathcal{C}^2$ telle que $\mathrm{Sp}(\nabla^2 f(x))\subset \mathbb{R}_+$ pour tout $x\in \Omega$ , alors $f$ est convexe sur $\Omega$ et tout point critique est un minimum global (résultat symétrique pour $\mathbb{R}_-$ et maximum). La démonstration n'est pas exigible.

La méthode

1
Je vérifie que $\Omega$ est ouvert convexe (souvent $\mathbb{R}^n$ , un demi-plan, une bande, une boule ouverte) et que $f$ est $\mathcal{C}^2$ sur $\Omega$ .
2
Je détermine le(s) point(s) critique(s) de $f$ en résolvant $\nabla f(x) = 0$ sur $\Omega$ .
3
Je calcule $\nabla^2 f(x)$ en un point générique $x\in \Omega$ et je vérifie que $\mathrm{Sp}(\nabla^2 f(x))\subset \mathbb{R}_+$ (resp. $\mathbb{R}_-$ ) en tout $x\in \Omega$ .
4
J'applique le théorème admis : tout point critique est alors un minimum (resp. maximum) global de $f$ sur $\Omega$ .
Comment écrire le développement limité d'ordre 2 de $f$ en un point critique ?Voir

Pour comprendre, fais des exercices !

Exercice d'exemple

Montrer que $(0,0)$ est un minimum global de $f(x,y) = x^2 + y^2 + x y$ sur $\mathbb{R}^2$ .

Étape 1 —

Je vérifie que

\Omega

est ouvert convexe (souvent

\mathbb{R}^n

, un demi-plan, une bande, une boule ouverte) et que

f

est

\mathcal{C}^2

sur

\Omega

$\Omega = \mathbb{R}^2$ est ouvert et convexe. $f$ est polynomiale donc $\mathcal{C}^2$ sur $\mathbb{R}^2$ .

Étape 2 —

Je détermine le(s) point(s) critique(s) de

f

en résolvant

\nabla f(x) = 0

sur

\Omega

$\nabla f(x,y) = (2 x + y, 2 y + x)$ s'annule ssi $(x,y) = (0,0)$ : unique point critique.

Étape 3 —

Je calcule

\nabla^2 f(x)

en un point générique

x\in \Omega

et je vérifie que

\mathrm{Sp}(\nabla^2 f(x))\subset \mathbb{R}_+

(resp.

\mathbb{R}_-

) en tout

x\in \Omega

$\nabla^2 f(x,y) = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}$ (constante), spectre $\{1,3\}\subset \mathbb{R}_+^*$ en tout point.

Étape 4 —

J'applique le théorème admis : tout point critique est alors un minimum (resp. maximum) global de

f

sur

\Omega

Par le théorème admis : $(0,0)$ est un minimum global strict de $f$ sur $\mathbb{R}^2$ , avec $f(0,0) = 0$ .

$(0,0)$ est un minimum global strict de $f$ , $\min f = 0$ .

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Comment démontrer qu'une fonction admet un extremum global sur un ouvert convexe via le signe du spectre de ∇2f\nabla^2 f∇2f ?

En vérifiant Ω\OmegaΩ ouvert convexe et Sp(∇2f(x))⊂R+\mathrm{Sp}(\nabla^2 f(x))\subset \mathbb{R}_+Sp(∇2f(x))⊂R+​ (resp. R−\mathbb{R}_-R−​) en tout point

Pour comprendre, fais des exercices !

Comment démontrer qu'une fonction admet un extremum global sur un ouvert convexe via le signe du spectre de $\nabla^2 f$ ?

En vérifiant $\Omega$ ouvert convexe et $\mathrm{Sp}(\nabla^2 f(x))\subset \mathbb{R}_+$ (resp. $\mathbb{R}_-$ ) en tout point