Comment calculer la covariance $\mathrm{Cov}(X,Y)$ à l'aide de la formule de Huygens ?

En appliquant $\mathrm{Cov}(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)$ après avoir vérifié l'existence des espérances

L'objectif

Calculer $\mathrm{Cov}(X,Y)$ via les espérances de $X$ , $Y$ et $XY$ .

Le principe

Si $X$ et $Y$ admettent une variance, alors $XY$ admet une espérance et $\mathrm{Cov}(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)$ , appelée formule de Huygens.

La méthode

1
Je vérifie que $X$ et $Y$ admettent une variance (donc une espérance et un moment d'ordre $2$ ), ce qui garantit l'existence de $\mathrm{Cov}(X,Y)$ et de $E(XY)$ .
2
Je calcule $E(X)$ et $E(Y)$ à partir des lois de $X$ et $Y$ .
3
Je calcule $E(XY)$ : soit par la loi conjointe du couple, soit par $E(XY)=E(X)E(Y)$ si $X$ et $Y$ sont indépendantes.
4
Je conclus par $\mathrm{Cov}(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)$ .

Difficulté croissante de 1 à 4

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En appliquant Cov(X,Y)=E(XY)−E(X)E(Y)\mathrm{Cov}(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)Cov(X,Y)=E(XY)−E(X)E(Y) après avoir vérifié l'existence des espérances