Comment montrer qu'une suite d'estimateurs est convergente via la condition suffisante $E(T_n)\to g(\theta)$ et $V(T_n)\to 0$ ?

En combinant $E(T_n)\to g(\theta)$ et $V(T_n)\to 0$ pour un estimateur asymptotiquement sans biais

L'objectif

Montrer qu'un estimateur biaisé dont le biais tend vers $0$ et la variance aussi converge en probabilité vers $g(\theta)$ .

Le principe

L'inégalité $P(|T_n - g(\theta)|\geq \varepsilon)\leq (V(T_n) + (E(T_n)-g(\theta))^2)/\varepsilon^2$ (obtenue via Markov sur $(T_n - g(\theta))^2$ ) entraîne la convergence dès que $E(T_n)\to g(\theta)$ et $V(T_n)\to 0$ .

La méthode

1
Je calcule $E_\theta(T_n)$ et je vérifie $\lim_{n\to +\infty} E_\theta(T_n) = g(\theta)$ : l'estimateur est asymptotiquement sans biais.
Comment montrer qu'un estimateur est sans biais en vérifiant $E_\theta(T_n) = g(\theta)$ ?Voir
2
Je calcule $V_\theta(T_n)$ et je vérifie $\lim_{n\to +\infty} V_\theta(T_n) = 0$ .
3
J'écris $P(|T_n - g(\theta)|\geq \varepsilon) \leq P(|T_n - E(T_n)|\geq \varepsilon/2) + P(|E(T_n) - g(\theta)|\geq \varepsilon/2)$ pour $n$ assez grand : le second terme est nul, le premier majoré par $4V(T_n)/\varepsilon^2$ via Bienaymé-Tchebychev.
Comment appliquer l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev pour contrôler $P(|X-E(X)| \geq \varepsilon)$ ?Voir
4
Je conclus par encadrement : $P(|T_n - g(\theta)|\geq \varepsilon) \to 0$ , donc $T_n\xrightarrow{P_\theta} g(\theta)$ : estimateur convergent.

Exemple corrigé

Difficulté croissante de 1 à 3

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En combinant E(Tn)→g(θ)E(T_n)\to g(\theta)E(Tn​)→g(θ) et V(Tn)→0V(T_n)\to 0V(Tn​)→0 pour un estimateur asymptotiquement sans biais

Exemple corrigé

En combinant $E(T_n)\to g(\theta)$ et $V(T_n)\to 0$ pour un estimateur asymptotiquement sans biais