Comment montrer qu'une suite d'estimateurs est convergente via la condition suffisante $E(T_n)\to g(\theta)$ et $V(T_n)\to 0$ ? | MetMat

Comment montrer qu'une suite d'estimateurs est convergente via la condition suffisante $E(T_n)\to g(\theta)$ et $V(T_n)\to 0$ ?

En combinant $E(T_n)\to g(\theta)$ et $V(T_n)\to 0$ pour un estimateur asymptotiquement sans biais

Montrer qu'un estimateur biaisé dont le biais tend vers $0$ et la variance aussi converge en probabilité vers $g(\theta)$ .

Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Soit $(X_i)$ i.i.d. de loi uniforme $\mathcal{U}([0,\theta])$ avec $\theta > 0$ inconnu. Montrer que $T_n = 2\overline{X}_n$ est un estimateur convergent de $\theta$ (variante : on calcule directement, sans biais ici).

L'objectif

Montrer qu'un estimateur biaisé dont le biais tend vers $0$ et la variance aussi converge en probabilité vers $g(\theta)$ .

Le principe

L'inégalité $P(|T_n - g(\theta)|\geq \varepsilon)\leq (V(T_n) + (E(T_n)-g(\theta))^2)/\varepsilon^2$ (obtenue via Markov sur $(T_n - g(\theta))^2$ ) entraîne la convergence dès que $E(T_n)\to g(\theta)$ et $V(T_n)\to 0$ .

La méthode

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Je calcule $E_\theta(T_n)$ et je vérifie $\lim_{n\to +\infty} E_\theta(T_n) = g(\theta)$ : l'estimateur est asymptotiquement sans biais.
Comment montrer qu'un estimateur est sans biais en vérifiant $E_\theta(T_n) = g(\theta)$ ?Voir
2
Je calcule $V_\theta(T_n)$ et je vérifie $\lim_{n\to +\infty} V_\theta(T_n) = 0$ .
3
Pour $n$ assez grand (tel que $|E(T_n) - g(\theta)| < \varepsilon/2$ ), j'écris $P(|T_n - g(\theta)|\geq \varepsilon) \leq P(|T_n - E(T_n)|\geq \varepsilon/2) \leq \dfrac{4 V(T_n)}{\varepsilon^2}$ par inégalité triangulaire puis Bienaymé-Tchebychev.
Comment appliquer l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev pour contrôler $P(|X-E(X)| \geq \varepsilon)$ ?Voir
4
Je conclus par encadrement : $P(|T_n - g(\theta)|\geq \varepsilon) \to 0$ , donc $T_n\xrightarrow{P_\theta} g(\theta)$ : estimateur convergent.

Pour comprendre, fais des exercices !

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Exercice d'exemple

Étape 1 —

Je calcule

E_\theta(T_n)

et je vérifie

\lim_{n\to +\infty} E_\theta(T_n) = g(\theta)

: l'estimateur est asymptotiquement sans biais.

Pour $X_i \sim \mathcal{U}([0,\theta])$ , $E(X_i) = \theta/2$ donc $E(T_n) = 2\cdot \theta/2 = \theta$ : ici $T_n$ est exactement sans biais (cas limite).

Étape 2 —

Je calcule

V_\theta(T_n)

et je vérifie

\lim_{n\to +\infty} V_\theta(T_n) = 0

$V(X_i) = \theta^2/12$ , donc $V(T_n) = 4\cdot V(\overline{X}_n) = 4\cdot \theta^2/(12n) = \theta^2/(3n) \xrightarrow[n\to +\infty]{} 0$ .

Étape 3 —

Pour

n

assez grand (tel que

|E(T_n) - g(\theta)| < \varepsilon/2

), j'écris

P(|T_n - g(\theta)|\geq \varepsilon) \leq P(|T_n - E(T_n)|\geq \varepsilon/2) \leq \dfrac{4 V(T_n)}{\varepsilon^2}

par inégalité triangulaire puis Bienaymé-Tchebychev.

Bienaymé-Tchebychev (sans biais donc Markov-Tchebychev se réduit à ce cas) : $P(|T_n-\theta|\geq \varepsilon)\leq \theta^2/(3n\varepsilon^2)$ .

Étape 4 —

Je conclus par encadrement :

P(|T_n - g(\theta)|\geq \varepsilon) \to 0

, donc

T_n\xrightarrow{P_\theta} g(\theta)

: estimateur convergent.

Le majorant tend vers $0$ , donc $T_n \xrightarrow{P} \theta$ : estimateur convergent.

$T_n = 2\overline{X}_n$ est un estimateur convergent de $\theta$ .

Application guidée

Soit $(X_i)$ i.i.d. $\mathcal{B}(p)$ . Montrer que $T_n = \frac{n}{n+1}\overline{X}_n$ est un estimateur convergent de $p$ , bien que biaisé.

Application autonome 1

Soit $(X_i)$ i.i.d. $\mathcal{N}(m,\sigma^2)$ . Montrer que $S_n^2 = \frac{1}{n}\sum (X_i - \overline{X}_n)^2$ est un estimateur convergent de $\sigma^2$ (admettre $V(S_n^2)\to 0$ ).

Application autonome 2

Soit $(X_i)$ i.i.d. de loi $\mathcal{E}(\lambda)$ . Montrer que $T_n = \dfrac{1}{\overline{X}_n}$ est un estimateur convergent de $\lambda$ .

Application autonome 3

Soit $(X_i)$ i.i.d. de loi $\mathcal{P}(\lambda)$ . Montrer que $T_n = \overline{X}_n + \dfrac{1}{n}$ est un estimateur convergent de $\lambda$ .

Crée ton compte pour accéder à la fiche et aux exercices

En combinant E(Tn)→g(θ)E(T_n)\to g(\theta)E(Tn​)→g(θ) et V(Tn)→0V(T_n)\to 0V(Tn​)→0 pour un estimateur asymptotiquement sans biais

Pour comprendre, fais des exercices !

En combinant $E(T_n)\to g(\theta)$ et $V(T_n)\to 0$ pour un estimateur asymptotiquement sans biais