Comment construire un estimateur $T_n = \varphi(X_1, \dots, X_n)$ d'un paramètre $g(\theta)$ ? | MetMat

Comment construire un estimateur $T_n = \varphi(X_1, \dots, X_n)$ d'un paramètre $g(\theta)$ ?

En choisissant une statistique naturelle : moyenne empirique, fréquence, variance empirique

Fournir un estimateur simple, interprétable et justifié heuristiquement d'un paramètre inconnu.

Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Soit $(X_1, \dots, X_n)$ un $n$ -échantillon de la loi $\mathcal{E}(\lambda)$ . Proposer un estimateur de $m = E(X) = 1/\lambda$ .

L'objectif

Fournir un estimateur simple, interprétable et justifié heuristiquement d'un paramètre inconnu.

Le principe

Pour estimer $E(X) = m$ , on choisit $\overline{X}_n = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i$ ; pour $p = P(X = 1)$ , la fréquence empirique $\overline{X}_n$ ; pour $\sigma^2 = V(X)$ , la variance empirique $S_n^2 = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n (X_i - \overline{X}_n)^2$ ; ces statistiques sont fonctions de l'échantillon et indépendantes du paramètre inconnu.

La méthode

1
J'identifie le paramètre $g(\theta)$ à estimer et je l'interprète en termes de moment (espérance, variance, proportion).
2
Je choisis l'analogue empirique de ce moment comme statistique $\varphi(X_1, \dots, X_n)$ , en m'assurant que $\varphi$ ne dépend pas de $\theta$ .
3
Je vérifie que $T_n = \varphi(X_1, \dots, X_n)$ est bien défini et fonction uniquement des $X_i$ (et éventuellement de $n$ ).
4
Je pose $T_n$ comme estimateur de $g(\theta)$ et j'explicite l'heuristique (loi des grands nombres, analogie empirique/théorique).

Pour comprendre, fais des exercices !

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Exercice d'exemple

Soit $(X_1, \dots, X_n)$ un $n$ -échantillon de la loi $\mathcal{E}(\lambda)$ . Proposer un estimateur de $m = E(X) = 1/\lambda$ .

Étape 1 —

J'identifie le paramètre

g(\theta)

à estimer et je l'interprète en termes de moment (espérance, variance, proportion).

Le paramètre à estimer est $m = E(X) = 1/\lambda$ , qui est le premier moment de $X$ .

Étape 2 —

Je choisis l'analogue empirique de ce moment comme statistique

\varphi(X_1, \dots, X_n)

, en m'assurant que

\varphi

ne dépend pas de

\theta

Je choisis la moyenne empirique $\overline{X}_n = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i$ , analogue empirique de $E(X)$ , qui ne dépend pas de $\lambda$ .

Étape 3 —

Je vérifie que

T_n = \varphi(X_1, \dots, X_n)

est bien défini et fonction uniquement des

X_i

(et éventuellement de

n

$T_n = \overline{X}_n$ est bien fonction des $X_i$ seuls et est bien définie pour tout $n \geq 1$ .

Étape 4 —

Je pose

T_n

comme estimateur de

g(\theta)

et j'explicite l'heuristique (loi des grands nombres, analogie empirique/théorique).

On pose $T_n = \overline{X}_n$ comme estimateur de $m$ , justifié heuristiquement par la LFGN : $\overline{X}_n \to m$ presque sûrement.

$T_n = \overline{X}_n$ estime $m = 1/\lambda$ .

Application guidée

Soit $(X_1, \dots, X_n)$ un $n$ -échantillon de loi $\mathcal{B}(p)$ . Proposer un estimateur de $p$ .

Application autonome 1

Soit $(X_1, \dots, X_n)$ un $n$ -échantillon de loi $\mathcal{N}(m, \sigma^2)$ avec $m$ et $\sigma^2$ inconnus. Proposer un estimateur de $\sigma^2$ .

Application autonome 2

Soit $(X_1,\dots,X_n)$ un $n$ -échantillon i.i.d. de loi $\mathcal{E}(\theta)$ avec $\theta > 0$ inconnu. Proposer un estimateur naturel de $\theta$ .

Application autonome 3

Soit $(X_1,\dots,X_n)$ un $n$ -échantillon i.i.d. de loi de Bernoulli $\mathcal{B}(p)$ avec $p$ inconnu. Proposer un estimateur naturel de $p$ puis de $p(1-p)$ .

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