Comment montrer qu'une suite $(X_n)$ converge en loi vers $X$ à partir des fonctions de répartition ?

En exploitant les passages à la limite classiques (équivalents, DL, $(1-\lambda/n)^n \to e^{-\lambda}$ )

L'objectif

Conclure à la convergence en loi en ramenant la limite de $F_{X_n}(x)$ à une limite classique (exponentielle, équivalent, DL).

Le principe

Les passages à la limite classiques — $(1 - \lambda/n)^n \to e^{-\lambda}$ , $\ln(1 + u) \sim u$ pour $u \to 0$ , les DL usuels — permettent d'identifier rapidement la limite de $F_{X_n}(x)$ à une FdR connue.

La méthode

1
Je fixe $x$ point de continuité de la FdR limite $F_X$ et j'écris explicitement $F_{X_n}(x)$ à partir de la loi de $X_n$ .
2
Je reconnais dans $F_{X_n}(x)$ une expression du type $(1 + a_n)^n$ , $\ln(1 + b_n)$ ou un équivalent, puis j'applique le passage classique correspondant.
3
Je conclus que la limite obtenue coïncide avec $F_X(x)$ , et j'en déduis $X_n \xrightarrow{\mathcal{L}} X$ par définition.

Exemple corrigé

Difficulté croissante de 1 à 3

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En exploitant les passages à la limite classiques (équivalents, DL, (1−λ/n)n→e−λ(1-\lambda/n)^n \to e^{-\lambda}(1−λ/n)n→e−λ)

Exemple corrigé

En exploitant les passages à la limite classiques (équivalents, DL, $(1-\lambda/n)^n \to e^{-\lambda}$ )