Comment appliquer l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev pour contrôler $P(|X-E(X)| \geq \varepsilon)$ ? | MetMat

Comment appliquer l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev pour contrôler $P(|X-E(X)| \geq \varepsilon)$ ?

En l'appliquant à $\overline{X}_n$ i.i.d. : $P(|\overline{X}_n - m| \geq \varepsilon) \leq \sigma^2/(n \varepsilon^2)$

Majorer la probabilité que la moyenne empirique $\overline{X}_n$ d'un échantillon i.i.d. s'écarte de l'espérance commune $m$ .

Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Soit $(X_i)_{1 \leq i \leq 100}$ une suite i.i.d. de loi $\mathcal{B}(1/2)$ et $\overline{X}_{100} = \dfrac{1}{100}\sum_{i=1}^{100} X_i$ . Majorer $P(|\overline{X}_{100} - 1/2| \geq 0{,}1)$ .

L'objectif

Majorer la probabilité que la moyenne empirique $\overline{X}_n$ d'un échantillon i.i.d. s'écarte de l'espérance commune $m$ .

Le principe

Si $X_1, \dots, X_n$ sont i.i.d. d'espérance $m$ et de variance $\sigma^2 < +\infty$ , alors $\overline{X}_n = \dfrac{1}{n}\sum_{i=1}^n X_i$ vérifie $E(\overline{X}_n) = m$ et $V(\overline{X}_n) = \sigma^2/n$ , d'où Bienaymé-Tchebychev donne $P(|\overline{X}_n - m| \geq \varepsilon) \leq \dfrac{\sigma^2}{n\varepsilon^2}$ .

La méthode

1
Je vérifie que $(X_i)$ sont i.i.d. avec $E(X_i) = m$ et $V(X_i) = \sigma^2 < +\infty$ , puis je pose $\overline{X}_n = \dfrac{1}{n}\sum_{i=1}^n X_i$ .
2
Je calcule $E(\overline{X}_n) = m$ (linéarité) et $V(\overline{X}_n) = \sigma^2/n$ (variance d'une somme de variables indépendantes).
Comment calculer la variance d'une somme $V(X_1+\cdots+X_n)$ avec ou sans indépendance ?Voir
3
J'applique Bienaymé-Tchebychev à $\overline{X}_n$ : $P(|\overline{X}_n - m| \geq \varepsilon) \leq \dfrac{V(\overline{X}_n)}{\varepsilon^2} = \dfrac{\sigma^2}{n \varepsilon^2}$ .

Pour comprendre, fais des exercices !

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Exercice d'exemple

Soit $(X_i)_{1 \leq i \leq 100}$ une suite i.i.d. de loi $\mathcal{B}(1/2)$ et $\overline{X}_{100} = \dfrac{1}{100}\sum_{i=1}^{100} X_i$ . Majorer $P(|\overline{X}_{100} - 1/2| \geq 0{,}1)$ .

Étape 1 —

Je vérifie que

(X_i)

sont i.i.d. avec

E(X_i) = m

V(X_i) = \sigma^2 < +\infty

, puis je pose

\overline{X}_n = \dfrac{1}{n}\sum_{i=1}^n X_i

Les $X_i$ sont i.i.d. de loi $\mathcal{B}(1/2)$ , donc $m = 1/2$ et $\sigma^2 = 1/4$ ; je pose $\overline{X}_{100}$ la moyenne empirique.

Étape 2 —

Je calcule

E(\overline{X}_n) = m

(linéarité) et

V(\overline{X}_n) = \sigma^2/n

(variance d'une somme de variables indépendantes).

$E(\overline{X}_{100}) = 1/2$ et $V(\overline{X}_{100}) = \dfrac{1/4}{100} = \dfrac{1}{400}$ .

Étape 3 —

J'applique Bienaymé-Tchebychev à

\overline{X}_n

P(|\overline{X}_n - m| \geq \varepsilon) \leq \dfrac{V(\overline{X}_n)}{\varepsilon^2} = \dfrac{\sigma^2}{n \varepsilon^2}

J'applique Bienaymé-Tchebychev avec $\varepsilon = 0{,}1$ : $P(|\overline{X}_{100} - 1/2| \geq 0{,}1) \leq \dfrac{1/400}{0{,}01} = \dfrac{1}{4}$ .

$P(|\overline{X}_{100} - 1/2| \geq 0{,}1) \leq \dfrac{1}{4}$ .

Application guidée

Soit $(X_i)_{1 \leq i \leq n}$ i.i.d. de loi $\mathcal{E}(1)$ . Déterminer un entier $n$ tel que $P(|\overline{X}_n - 1| \geq 0{,}2) \leq 0{,}05$ .

Application autonome 1

Soit $(X_i)_{1 \leq i \leq 400}$ i.i.d. de loi $\mathcal{N}(10, 4)$ . Majorer $P(|\overline{X}_{400} - 10| \geq 0{,}5)$ .

Application autonome 2

Soit $(X_i)_{1 \leq i \leq n}$ une suite i.i.d. de loi de Poisson $\mathcal{P}(3)$ et $\overline{X}_n$ leur moyenne empirique. Déterminer une valeur de $n$ assurant $P(|\overline{X}_n - 3| \geq 0{,}1) \leq 0{,}05$ .

Application autonome 3

Soit $(X_i)_{1 \leq i \leq 500}$ i.i.d. de loi géométrique $\mathcal{G}(1/4)$ . Majorer $P(|\overline{X}_{500} - 4| \geq 1)$ .

Crée ton compte pour accéder à la fiche et aux exercices

En l'appliquant à X‾n\overline{X}_nXn​ i.i.d. : P(∣X‾n−m∣≥ε)≤σ2/(nε2)P(|\overline{X}_n - m| \geq \varepsilon) \leq \sigma^2/(n \varepsilon^2)P(∣Xn​−m∣≥ε)≤σ2/(nε2)

Pour comprendre, fais des exercices !

En l'appliquant à $\overline{X}_n$ i.i.d. : $P(|\overline{X}_n - m| \geq \varepsilon) \leq \sigma^2/(n \varepsilon^2)$