Comment appliquer l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev pour contrôler $P(|X-E(X)| \geq \varepsilon)$ ?

En l'appliquant à $\overline{X}_n$ i.i.d. : $P(|\overline{X}_n - m| \geq \varepsilon) \leq \sigma^2/(n \varepsilon^2)$

L'objectif

Majorer la probabilité que la moyenne empirique $\overline{X}_n$ d'un échantillon i.i.d. s'écarte de l'espérance commune $m$ .

Le principe

Si $X_1, \dots, X_n$ sont i.i.d. d'espérance $m$ et de variance $\sigma^2 < +\infty$ , alors $\overline{X}_n = \dfrac{1}{n}\sum_{i=1}^n X_i$ vérifie $E(\overline{X}_n) = m$ et $V(\overline{X}_n) = \sigma^2/n$ , d'où Bienaymé-Tchebychev donne $P(|\overline{X}_n - m| \geq \varepsilon) \leq \dfrac{\sigma^2}{n\varepsilon^2}$ .

La méthode

1
Je vérifie que $(X_i)$ sont i.i.d. avec $E(X_i) = m$ et $V(X_i) = \sigma^2 < +\infty$ , puis je pose $\overline{X}_n = \dfrac{1}{n}\sum_{i=1}^n X_i$ .
2
Je calcule $E(\overline{X}_n) = m$ (linéarité) et $V(\overline{X}_n) = \sigma^2/n$ (variance d'une somme de variables indépendantes).
Comment calculer la variance d'une somme $V(X_1+\cdots+X_n)$ avec ou sans indépendance ?Voir
3
J'applique Bienaymé-Tchebychev à $\overline{X}_n$ : $P(|\overline{X}_n - m| \geq \varepsilon) \leq \dfrac{V(\overline{X}_n)}{\varepsilon^2} = \dfrac{\sigma^2}{n \varepsilon^2}$ .

Exemple corrigé

Difficulté croissante de 1 à 3

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En l'appliquant à X‾n\overline{X}_nXn​ i.i.d. : P(∣X‾n−m∣≥ε)≤σ2/(nε2)P(|\overline{X}_n - m| \geq \varepsilon) \leq \sigma^2/(n \varepsilon^2)P(∣Xn​−m∣≥ε)≤σ2/(nε2)

Exemple corrigé

En l'appliquant à $\overline{X}_n$ i.i.d. : $P(|\overline{X}_n - m| \geq \varepsilon) \leq \sigma^2/(n \varepsilon^2)$