Comment montrer que si F est… : En prenant y∈ F^perp et x∈ F puis en… — ECG2 approfondies | MetMat

Comment montrer que si $F$ est stable par un endomorphisme symétrique, alors $F^{\perp}$ l'est aussi ?

En prenant $y\in F^\perp$ et $x\in F$ puis en utilisant $\langle x,f(y)\rangle=\langle f(x),y\rangle$

Établir que pour $f$ symétrique et $F$ sous-espace stable par $f$ , le supplémentaire orthogonal $F^\perp$ est lui aussi stable par $f$ .

Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Soit $E = \mathbb{R}^3$ usuel, $f$ l'endomorphisme symétrique de matrice $A = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 0 \\ 1 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 5 \end{pmatrix}$ en base canonique, et $F = \mathrm{Vect}(e_1,e_2)$ . Montrer que $F$ et $F^\perp$ sont stables par $f$ .

L'objectif

Établir que pour $f$ symétrique et $F$ sous-espace stable par $f$ , le supplémentaire orthogonal $F^\perp$ est lui aussi stable par $f$ .

Le principe

Si $f$ est symétrique et si $f(F)\subset F$ , alors pour $y\in F^\perp$ et $x\in F$ on a $\langle x,f(y)\rangle = \langle f(x),y\rangle = 0$ (car $f(x)\in F$ et $y\in F^\perp$ ) ; donc $f(y)\in F^\perp$ .

La méthode

1
Je vérifie les deux hypothèses du théorème : $f$ est un endomorphisme symétrique de $E$ , et $F$ est un sous-espace de $E$ stable par $f$ (c'est-à-dire $f(F)\subset F$ ).
2
Je fixe un vecteur arbitraire $y\in F^\perp$ , et mon objectif est de montrer que $f(y)\in F^\perp$ , c'est-à-dire $\langle x,f(y)\rangle = 0$ pour tout $x\in F$ .
3
Soit $x\in F$ quelconque : par symétrie de $f$ , $\langle x,f(y)\rangle = \langle f(x),y\rangle$ . Or $f(x)\in F$ (stabilité) et $y\in F^\perp$ , donc $\langle f(x),y\rangle = 0$ .
4
On a donc $\langle x,f(y)\rangle = 0$ pour tout $x\in F$ , ce qui signifie $f(y)\in F^\perp$ ; ceci étant vrai pour tout $y\in F^\perp$ , je conclus $f(F^\perp)\subset F^\perp$ .

Pour comprendre, fais des exercices !

Exercice d'exemple

Étape 1 —

Je vérifie les deux hypothèses du théorème :

f

est un endomorphisme symétrique de

E

, et

F

est un sous-espace de

E

stable par

f

(c'est-à-dire

f(F)\subset F

$A$ est symétrique en base canonique orthonormée, donc $f$ est symétrique. $f(e_1) = 2e_1 + e_2 \in F$ et $f(e_2) = e_1 + 2e_2 \in F$ , donc $F$ est stable par $f$ .

Étape 2 —

Je fixe un vecteur arbitraire

y\in F^\perp

, et mon objectif est de montrer que

f(y)\in F^\perp

, c'est-à-dire

\langle x,f(y)\rangle = 0

pour tout

x\in F

Je fixe $y\in F^\perp$ . Comme $F = \mathrm{Vect}(e_1,e_2)$ , on a $F^\perp = \mathrm{Vect}(e_3)$ , donc $y = \lambda e_3$ .

Étape 3 —

Soit

x\in F

quelconque : par symétrie de

f

\langle x,f(y)\rangle = \langle f(x),y\rangle

. Or

f(x)\in F

(stabilité) et

y\in F^\perp

, donc

\langle f(x),y\rangle = 0

Pour $x\in F$ : $\langle x,f(y)\rangle = \langle f(x),y\rangle$ . Or $f(x)\in F$ et $y\in F^\perp$ , donc ce produit scalaire est nul.

Étape 4 —

On a donc

\langle x,f(y)\rangle = 0

pour tout

x\in F

, ce qui signifie

f(y)\in F^\perp

; ceci étant vrai pour tout

y\in F^\perp

, je conclus

f(F^\perp)\subset F^\perp

Donc $f(y)\in F^\perp$ . Concrètement, $f(e_3) = 5e_3\in F^\perp$ , ce qui confirme : $F^\perp$ est bien stable par $f$ .

$F$ et $F^\perp$ sont tous deux stables par $f$ .

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Pour comprendre, fais des exercices !

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En prenant $y\in F^\perp$ et $x\in F$ puis en utilisant $\langle x,f(y)\rangle=\langle f(x),y\rangle$