ECG 2ème année Maths Approfondies

Endomorphismes symétriques et projection orthogonale

Endomorphismes symétriques d'un espace euclidien, caractérisation matricielle, stabilité de l'orthogonal, orthogonalité des sous-espaces propres et diagonalisation orthogonale (théorème spectral admis).

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Comment montrer qu'un endomorphisme

f

est symétrique via

\langle f(x),y\rangle = \langle x,f(y)\rangle

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Comment reconnaître un endomorphisme symétrique à partir de sa matrice en base orthonormée ?

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Comment montrer que si

F

est stable par un endomorphisme symétrique, alors

F^{\perp}

l'est aussi ?

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Comment prouver que les sous-espaces propres d'un endomorphisme symétrique sont deux à deux orthogonaux ?

Nouveau

Comment diagonaliser orthogonalement une matrice symétrique réelle (trouver

P

orthogonale et

D

diagonale) ?

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En appliquant la formule

p_F(x)=\sum_{i=1}^k \langle x,u_i\rangle u_i

avec une base orthonormée de

F

Nouveau

En décomposant

x=v+w

avec

v\in F

w\in F^{\perp}

et en identifiant

v=p_F(x)

Nouveau

Comment caractériser

p_F(x)

comme le vecteur de

F

qui minimise la distance

\|x-u\|

Nouveau

Comment reconnaître un projecteur orthogonal à l'aide du critère projecteur et endomorphisme symétrique ?

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Comment résoudre un problème de moindres carrés

\min \|AX-B\|

par projection orthogonale ?

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Maîtrise encore 2 méthodes pour débloquer cette étape.

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Maîtrise encore 2 méthodes pour débloquer cette étape.