L'objectif

Montrer que $p_F(x)$ est l'unique vecteur de $F$ qui réalise $\min_{u\in F}\|x-u\|$ et exploiter cette caractérisation.

Le principe

Pour $u\in F$ , on a $x-u=(x-p_F(x))+(p_F(x)-u)$ avec $(x-p_F(x))\perp F$ et $(p_F(x)-u)\in F$ , donc Pythagore donne $\|x-u\|^2\geq \|x-p_F(x)\|^2$ avec égalité ssi $u=p_F(x)$ .

La méthode

1
Je pose $v=p_F(x)$ et je me donne $u\in F$ quelconque, puis j'écris $x-u=(x-v)+(v-u)$ .
2
Je vérifie que $x-v\in F^{\perp}$ (par définition du projeté) et que $v-u\in F$ (différence d'éléments de $F$ ), donc les deux vecteurs sont orthogonaux.
Comment montrer que deux vecteurs ou deux sous-espaces sont orthogonaux ?Voir
3
J'applique le théorème de Pythagore : $\|x-u\|^2=\|x-v\|^2+\|v-u\|^2\geq \|x-v\|^2$ .
Comment appliquer le théorème de Pythagore pour calculer une norme ou établir une égalité ?Voir
4
Je conclus que $\min_{u\in F}\|x-u\|=\|x-p_F(x)\|$ , atteint uniquement pour $u=v=p_F(x)$ ; la distance de $x$ à $F$ vaut $d(x,F)=\|x-p_F(x)\|$ .

Comment caractériser $p_F(x)$ comme le vecteur de $F$ qui minimise la distance $\|x-u\|$ ?

En écrivant $\|x-u\|^2=\|x-p_F(x)\|^2+\|p_F(x)-u\|^2$ par Pythagore et en concluant

Pour comprendre, fais des exercices !

Comment caractériser pF(x)p_F(x)pF​(x) comme le vecteur de FFF qui minimise la distance ∥x−u∥\|x-u\|∥x−u∥ ?

En écrivant ∥x−u∥2=∥x−pF(x)∥2+∥pF(x)−u∥2\|x-u\|^2=\|x-p_F(x)\|^2+\|p_F(x)-u\|^2∥x−u∥2=∥x−pF​(x)∥2+∥pF​(x)−u∥2 par Pythagore et en concluant

Pour comprendre, fais des exercices !

Comment caractériser $p_F(x)$ comme le vecteur de $F$ qui minimise la distance $\|x-u\|$ ?

En écrivant $\|x-u\|^2=\|x-p_F(x)\|^2+\|p_F(x)-u\|^2$ par Pythagore et en concluant