Comment calculer la projection orthogonale $p_F(x)$ à partir d'une base orthonormée $(u_1,\dots,u_k)$ de $F$ ?

En décomposant $x=v+w$ avec $v\in F$ , $w\in F^{\perp}$ et en identifiant $v=p_F(x)$

Déterminer $p_F(x)$ en écrivant $x$ comme somme d'un vecteur de $F$ et d'un vecteur orthogonal à $F$ .

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Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Dans $\mathbb{R}^3$ , calculer le projeté orthogonal de $x=(1,2,2)$ sur $F=\mathrm{Vect}((1,1,1))$ .

L'objectif

Déterminer $p_F(x)$ en écrivant $x$ comme somme d'un vecteur de $F$ et d'un vecteur orthogonal à $F$ .

Le principe

Tout espace euclidien se décompose en $E=F\oplus F^{\perp}$ ; l'unique décomposition $x=v+w$ avec $v\in F$ , $w\perp F$ donne $v=p_F(x)$ .

La méthode

1
Je détermine une base $(f_1,\dots,f_k)$ de $F$ (pas nécessairement orthonormée).
2
Je pose $v=\sum_{i=1}^k \alpha_i f_i\in F$ avec $(\alpha_1,\dots,\alpha_k)$ à déterminer.
3
J'écris la condition $x-v\in F^{\perp}$ , soit $\langle x-v,f_j\rangle=0$ pour tout $j\in\{1,\dots,k\}$ : cela donne un système linéaire en $\alpha_i$ .
4
Je résous le système et j'obtiens $p_F(x)=v$ .

Pour comprendre, fais des exercices !

Exercice d'exemple

Dans $\mathbb{R}^3$ , calculer le projeté orthogonal de $x=(1,2,2)$ sur $F=\mathrm{Vect}((1,1,1))$ .

Étape 1 —

Je détermine une base

(f_1,\dots,f_k)

de

F

(pas nécessairement orthonormée).

$(f_1)=((1,1,1))$ est une base de $F$ .

Étape 2 —

Je pose

v=\sum_{i=1}^k \alpha_i f_i\in F

avec

(\alpha_1,\dots,\alpha_k)

à déterminer.

Je pose $v=\alpha(1,1,1)=(\alpha,\alpha,\alpha)$ .

Étape 3 —

J'écris la condition

x-v\in F^{\perp}

, soit

\langle x-v,f_j\rangle=0

pour tout

j\in\{1,\dots,k\}

: cela donne un système linéaire en

\alpha_i

.

$\langle x-v,f_1\rangle=0$ donne $(1-\alpha)+(2-\alpha)+(2-\alpha)=0$ , soit $5-3\alpha=0$ , donc $\alpha=\tfrac{5}{3}$ .

Étape 4 —

Je résous le système et j'obtiens

p_F(x)=v

.

$p_F(x)=\tfrac{5}{3}(1,1,1)=\big(\tfrac{5}{3},\tfrac{5}{3},\tfrac{5}{3}\big)$ .

$p_F(x)=\big(\tfrac{5}{3},\tfrac{5}{3},\tfrac{5}{3}\big)$ .

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En décomposant $x=v+w$ avec $v\in F$ , $w\in F^{\perp}$ et en identifiant $v=p_F(x)$