Comment calculer la projection… : En appliquant la formule p_F(x)=sum_… — ECG2 approfondies | MetMat

Comment calculer la projection orthogonale $p_F(x)$ à partir d'une base orthonormée $(u_1,\dots,u_k)$ de $F$ ?

En appliquant la formule $p_F(x)=\sum_{i=1}^k \langle x,u_i\rangle u_i$ avec une base orthonormée de $F$

Calculer explicitement $p_F(x)$ pour un vecteur $x$ donné et un sous-espace $F$ de dimension finie.

Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Dans $\mathbb{R}^3$ muni du produit scalaire canonique, soit $F=\mathrm{Vect}(u_1)$ avec $u_1=\frac{1}{\sqrt{2}}(1,1,0)$ . Calculer $p_F(x)$ pour $x=(2,0,1)$ .

L'objectif

Calculer explicitement $p_F(x)$ pour un vecteur $x$ donné et un sous-espace $F$ de dimension finie.

Le principe

Si $(u_1,\dots,u_k)$ est une base orthonormée de $F$ , alors le projeté orthogonal de $x$ sur $F$ vaut $p_F(x)=\sum_{i=1}^k \langle x,u_i\rangle u_i$ .

La méthode

1
Je vérifie que la famille $(u_1,\dots,u_k)$ proposée est bien une base orthonormée de $F$ : $\langle u_i,u_j\rangle=\delta_{ij}$ et $\mathrm{Vect}(u_1,\dots,u_k)=F$ .
2
Si la famille n'est pas orthonormée, je l'orthonormalise (procédé de Schmidt) ou je pars d'une famille génératrice que je normalise.
3
Je calcule chaque coefficient $\langle x,u_i\rangle$ pour $i\in\{1,\dots,k\}$ .
4
Je forme $p_F(x)=\sum_{i=1}^k \langle x,u_i\rangle u_i$ et je réduis son expression.

Pour comprendre, fais des exercices !

Exercice d'exemple

Dans $\mathbb{R}^3$ muni du produit scalaire canonique, soit $F=\mathrm{Vect}(u_1)$ avec $u_1=\frac{1}{\sqrt{2}}(1,1,0)$ . Calculer $p_F(x)$ pour $x=(2,0,1)$ .

Étape 1 —

Je vérifie que la famille

(u_1,\dots,u_k)

proposée est bien une base orthonormée de

F

\langle u_i,u_j\rangle=\delta_{ij}

\mathrm{Vect}(u_1,\dots,u_k)=F

$\|u_1\|^2=\frac{1}{2}(1+1+0)=1$ , donc $u_1$ est unitaire et $(u_1)$ est une base orthonormée de $F$ (droite).

Étape 2 —

Si la famille n'est pas orthonormée, je l'orthonormalise (procédé de Schmidt) ou je pars d'une famille génératrice que je normalise.

La famille est déjà orthonormée, aucune étape d'orthonormalisation n'est nécessaire.

Étape 3 —

Je calcule chaque coefficient

\langle x,u_i\rangle

pour

i\in\{1,\dots,k\}

$\langle x,u_1\rangle=\frac{1}{\sqrt{2}}(2\cdot 1+0\cdot 1+1\cdot 0)=\frac{2}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}$ .

Étape 4 —

Je forme

p_F(x)=\sum_{i=1}^k \langle x,u_i\rangle u_i

et je réduis son expression.

$p_F(x)=\sqrt{2}\cdot u_1=\sqrt{2}\cdot\frac{1}{\sqrt{2}}(1,1,0)=(1,1,0)$ .

$p_F(x)=(1,1,0)$ .

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Comment calculer la projection orthogonale pF(x)p_F(x)pF​(x) à partir d'une base orthonormée (u1,…,uk)(u_1,\dots,u_k)(u1​,…,uk​) de FFF ?

En appliquant la formule pF(x)=∑i=1k⟨x,ui⟩uip_F(x)=\sum_{i=1}^k \langle x,u_i\rangle u_ipF​(x)=∑i=1k​⟨x,ui​⟩ui​ avec une base orthonormée de FFF

Pour comprendre, fais des exercices !

Comment calculer la projection orthogonale $p_F(x)$ à partir d'une base orthonormée $(u_1,\dots,u_k)$ de $F$ ?

En appliquant la formule $p_F(x)=\sum_{i=1}^k \langle x,u_i\rangle u_i$ avec une base orthonormée de $F$