Comment reconnaître un projecteur orthogonal à l'aide du critère projecteur et endomorphisme symétrique ?

$A^2=\tfrac{1}{4}\begin{pmatrix}1&1\\1&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&1\\1&1\end{pmatrix}=\tfrac{1}{4}\begin{pmatrix}2&2\\2&2\end{pmatrix}=\tfrac{1}{2}\begin{pmatrix}1&1\\1&1\end{pmatrix}=A$, donc $p$ est un projecteur.

La base canonique de $\mathbb{R}^2$ est orthonormée pour le produit scalaire canonique, et la matrice de $p$ dans cette base est $A$.

${}^t\!A=\tfrac{1}{2}\begin{pmatrix}1&1\\1&1\end{pmatrix}=A$ : $A$ est symétrique.

$p$ est un projecteur orthogonal ; $\mathrm{Im}(p)=\mathrm{Vect}((1,1))$ est orthogonal à $\mathrm{Ker}(p)=\mathrm{Vect}((1,-1))$.