Comment montrer qu'un estimateur est sans biais en vérifiant $E_\theta(T_n) = g(\theta)$ ?

En calculant $E_\theta(T_n)$ par linéarité et en utilisant $E_\theta(X_i) = E_\theta(X)$

L'objectif

Démontrer directement qu'un estimateur est sans biais en calculant son espérance.

Le principe

Un estimateur $T_n$ est sans biais pour $g(\theta)$ si $E_\theta(T_n) = g(\theta)$ pour tout $\theta$ ; la linéarité de l'espérance et l'égalité $E_\theta(X_i) = E_\theta(X)$ permettent souvent de ramener le calcul à une seule espérance.

La méthode

1
Je m'assure que les espérances $E_\theta(X_i)$ (et éventuellement $E_\theta(X_i^2)$ ) existent sous la loi considérée, afin de pouvoir appliquer la linéarité.
2
J'applique la linéarité : $E_\theta(T_n) = E_\theta(\varphi(X_1, \dots, X_n))$ en développant $\varphi$ et en sortant les constantes.
3
Je remplace chaque $E_\theta(X_i)$ par $E_\theta(X)$ (même loi) et je simplifie pour obtenir $E_\theta(T_n)$ en fonction de $\theta$ .
4
Je compare $E_\theta(T_n)$ à $g(\theta)$ : si égalité pour tout $\theta$ , alors $T_n$ est sans biais ; sinon j'explicite le biais $b(\theta) = E_\theta(T_n) - g(\theta)$ .

Exemple corrigé

Difficulté croissante de 1 à 3

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En calculant Eθ(Tn)E_\theta(T_n)Eθ​(Tn​) par linéarité et en utilisant Eθ(Xi)=Eθ(X)E_\theta(X_i) = E_\theta(X)Eθ​(Xi​)=Eθ​(X)

Exemple corrigé

En calculant $E_\theta(T_n)$ par linéarité et en utilisant $E_\theta(X_i) = E_\theta(X)$