Comment calculer les dérivées partielles d'ordre 1 $\partial_i f(x)$ d'une fonction ?

En revenant à la définition $\partial_i f(x_0) = \lim_{t \to 0} \dfrac{f(x_0 + t e_i) - f(x_0)}{t}$

Calculer $\partial_i f(x_0)$ via la définition lorsqu'aucune expression simple ne permet de dériver.

Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Calculer $\partial_1 f(0,0)$ pour $f(x,y) = x^2 + 3xy - y^2$ en revenant à la définition.

L'objectif

Calculer $\partial_i f(x_0)$ via la définition lorsqu'aucune expression simple ne permet de dériver.

Le principe

Par définition, $\partial_i f(x_0) = \lim_{t \to 0} \dfrac{f(x_0 + t e_i) - f(x_0)}{t}$ où $e_i$ est le $i$ -ème vecteur de la base canonique de $\mathbb{R}^n$ .

La méthode

1
J'écris explicitement $x_0 + t e_i$ en ne modifiant que la $i$ -ème coordonnée de $x_0$ .
2
Je calcule $f(x_0 + t e_i) - f(x_0)$ et je simplifie le taux d'accroissement $\frac{f(x_0 + t e_i) - f(x_0)}{t}$ .
3
Je fais tendre $t$ vers $0$ et je conclus en donnant la valeur de $\partial_i f(x_0)$ (en justifiant l'existence de la limite).

Pour comprendre, fais des exercices !

Exercice d'exemple

Calculer $\partial_1 f(0,0)$ pour $f(x,y) = x^2 + 3xy - y^2$ en revenant à la définition.

Étape 1 —

J'écris explicitement

x_0 + t e_i

en ne modifiant que la

i

-ème coordonnée de

x_0

.

Ici $x_0 = (0,0)$ et $e_1 = (1,0)$ , donc $x_0 + t e_1 = (t,0)$ .

Étape 2 —

Je calcule

f(x_0 + t e_i) - f(x_0)

et je simplifie le taux d'accroissement

\frac{f(x_0 + t e_i) - f(x_0)}{t}

.

$f(t,0) - f(0,0) = t^2 - 0 = t^2$ , d'où $\dfrac{f(t,0) - f(0,0)}{t} = \dfrac{t^2}{t} = t$ pour $t \neq 0$ .

Étape 3 —

Je fais tendre

t

vers

0

et je conclus en donnant la valeur de

\partial_i f(x_0)

(en justifiant l'existence de la limite).

En faisant tendre $t$ vers $0$ , la limite vaut $0$ donc $\partial_1 f(0,0) = 0$ .

$\partial_1 f(0,0) = 0$ .

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