Comment caractériser la convergence en loi pour des variables à valeurs dans $\mathbb{N}$ via $P(X_n=k) \to P(X=k)$ ? | MetMat

Comment caractériser la convergence en loi pour des variables à valeurs dans $\mathbb{N}$ via $P(X_n=k) \to P(X=k)$ ?

En l'utilisant pour l'approximation Binomiale-Poisson : $X_n \sim \mathcal{B}(n, p_n)$ , $np_n \to \lambda$ , alors $X_n \xrightarrow{\mathcal{L}} \mathcal{P}(\lambda)$

Approximer une loi $\mathcal{B}(n, p_n)$ par une loi de Poisson $\mathcal{P}(\lambda)$ lorsque $n$ est grand, $p_n$ petit et $np_n \to \lambda > 0$ .

Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Un livre de $500$ pages contient en moyenne $1$ coquille par page (indépendamment). Chaque coquille a une probabilité $p = 0{,}002$ d'être sur la page $1$ . Approcher la loi du nombre $X$ de coquilles sur la page $1$ par une loi de Poisson.

L'objectif

Approximer une loi $\mathcal{B}(n, p_n)$ par une loi de Poisson $\mathcal{P}(\lambda)$ lorsque $n$ est grand, $p_n$ petit et $np_n \to \lambda > 0$ .

Le principe

Théorème (approximation Binomiale-Poisson) : si $X_n \sim \mathcal{B}(n, p_n)$ et $n p_n \xrightarrow[n \to +\infty]{} \lambda > 0$ , alors $X_n \xrightarrow{\mathcal{L}} \mathcal{P}(\lambda)$ ; la preuve repose sur la caractérisation $P(X_n = k) \to P(X = k)$ pour tout $k \in \mathbb{N}$ .

La méthode

1
Je vérifie que $X_n \sim \mathcal{B}(n, p_n)$ et que $n p_n \to \lambda > 0$ , et je pose $\lambda_n = n p_n$ .
2
Pour $k \in \mathbb{N}$ fixé et $n \geq k$ , j'écris $P(X_n = k) = \binom{n}{k} p_n^k (1 - p_n)^{n-k} = \dfrac{n(n-1)\cdots(n-k+1)}{k!} \Big(\dfrac{\lambda_n}{n}\Big)^k \Big(1 - \dfrac{\lambda_n}{n}\Big)^{n-k}$ .
3
Je passe à la limite : $\dfrac{n(n-1)\cdots(n-k+1)}{n^k} \to 1$ , $\Big(1 - \dfrac{\lambda_n}{n}\Big)^n \to e^{-\lambda}$ et $\Big(1 - \dfrac{\lambda_n}{n}\Big)^{-k} \to 1$ , d'où $P(X_n = k) \to \dfrac{\lambda^k}{k!} e^{-\lambda} = P(Y = k)$ avec $Y \sim \mathcal{P}(\lambda)$ .
4
Par la caractérisation de la convergence en loi sur $\mathbb{N}$ , $X_n \xrightarrow{\mathcal{L}} \mathcal{P}(\lambda)$ . En pratique, on approche $\mathcal{B}(n, p) \approx \mathcal{P}(np)$ lorsque $n \geq 30$ et $p \leq 0{,}1$ .
Comment montrer qu'une suite $(X_n)$ converge en loi vers $X$ à partir des fonctions de répartition ?Voir

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Exercice d'exemple

Étape 1 —

Je vérifie que

X_n \sim \mathcal{B}(n, p_n)

et que

n p_n \to \lambda > 0

, et je pose

\lambda_n = n p_n

On modélise $X \sim \mathcal{B}(n, p)$ avec $n = 500$ , $p = 0{,}002$ ; $np = 1 = \lambda$ .

Étape 2 —

Pour

k \in \mathbb{N}

fixé et

n \geq k

, j'écris

P(X_n = k) = \binom{n}{k} p_n^k (1 - p_n)^{n-k} = \dfrac{n(n-1)\cdots(n-k+1)}{k!} \Big(\dfrac{\lambda_n}{n}\Big)^k \Big(1 - \dfrac{\lambda_n}{n}\Big)^{n-k}

Pour $k \in \mathbb{N}$ , $P(X = k) = \binom{500}{k} (0{,}002)^k (0{,}998)^{500-k}$ .

Étape 3 —

Je passe à la limite :

\dfrac{n(n-1)\cdots(n-k+1)}{n^k} \to 1

\Big(1 - \dfrac{\lambda_n}{n}\Big)^n \to e^{-\lambda}

\Big(1 - \dfrac{\lambda_n}{n}\Big)^{-k} \to 1

, d'où

P(X_n = k) \to \dfrac{\lambda^k}{k!} e^{-\lambda} = P(Y = k)

avec

Y \sim \mathcal{P}(\lambda)

Les conditions $n \geq 30$ et $p \leq 0{,}1$ sont satisfaites : $P(X = k) \approx e^{-1} \dfrac{1^k}{k!}$ .

Étape 4 —

Par la caractérisation de la convergence en loi sur

\mathbb{N}

X_n \xrightarrow{\mathcal{L}} \mathcal{P}(\lambda)

. En pratique, on approche

\mathcal{B}(n, p) \approx \mathcal{P}(np)

lorsque

n \geq 30

p \leq 0{,}1

Donc $X \approx \mathcal{P}(1)$ : par exemple $P(X = 0) \approx e^{-1} \approx 0{,}368$ , $P(X = 1) \approx e^{-1} \approx 0{,}368$ .

$X \approx \mathcal{P}(1)$ : $P(X=0) \approx 0{,}368$ .

Application guidée

Soit $X_n \sim \mathcal{B}(n, 3/n)$ . Montrer que $X_n \xrightarrow{\mathcal{L}} \mathcal{P}(3)$ .

Application autonome 1

Une usine produit $n = 10000$ pièces, chaque pièce étant défectueuse avec probabilité $p = 5 \cdot 10^{-4}$ , indépendamment. Approcher $P(X = 3)$ où $X$ est le nombre de pièces défectueuses.

Application autonome 2

Soit $X_n \sim \mathcal{B}(n, \lambda/n)$ avec $\lambda = 4$ . Déterminer la loi limite de $X_n$ et donner $\lim_{n\to+\infty} P(X_n = 3)$ .

Application autonome 3

Soient $X_n \sim \mathcal{B}(n, p_n)$ avec $p_n = \dfrac{2n+1}{n^2}$ . Déterminer la loi limite de $X_n$ .

Crée ton compte pour accéder à la fiche et aux exercices

En l'utilisant pour l'approximation Binomiale-Poisson : Xn∼B(n,pn)X_n \sim \mathcal{B}(n, p_n)Xn​∼B(n,pn​), npn→λnp_n \to \lambdanpn​→λ, alors Xn→LP(λ)X_n \xrightarrow{\mathcal{L}} \mathcal{P}(\lambda)Xn​L​P(λ)

Pour comprendre, fais des exercices !

En l'utilisant pour l'approximation Binomiale-Poisson : $X_n \sim \mathcal{B}(n, p_n)$ , $np_n \to \lambda$ , alors $X_n \xrightarrow{\mathcal{L}} \mathcal{P}(\lambda)$