Comment construire un intervalle de confiance de la moyenne d'une loi normale d'écart-type connu ? | MetMat

Comment construire un intervalle de confiance de la moyenne d'une loi normale d'écart-type connu ?

En appliquant Bienaymé-Tchebychev comme borne plus grossière indépendante de la normalité

Construire un IC de la moyenne $m$ à $\sigma$ connu, sans hypothèse de normalité, au prix d'une demi-largeur plus grande.

Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Reprendre l'exemple des $n=25$ mesures normales ( $\sigma = 0{,}4$ , $\overline{x}_n = 12{,}3$ ) au niveau $95\%$ via Bienaymé-Tchebychev, sans exploiter la normalité.

L'objectif

Construire un IC de la moyenne $m$ à $\sigma$ connu, sans hypothèse de normalité, au prix d'une demi-largeur plus grande.

Le principe

Si $(X_i)$ sont i.i.d. d'espérance $m$ et d'écart-type $\sigma$ connu, alors $V(\overline{X}_n) = \sigma^2/n$ et Bienaymé-Tchebychev donne $P(|\overline{X}_n - m|\geq \varepsilon)\leq \dfrac{\sigma^2}{n\varepsilon^2}$ .

La méthode

1
Je pose $(X_1,\dots,X_n)$ i.i.d. d'espérance $m$ (inconnue) et d'écart-type $\sigma>0$ connu, sans supposer la loi normale.
2
Je calcule $V(\overline{X}_n) = \sigma^2/n$ et j'applique Bienaymé-Tchebychev : $P(|\overline{X}_n - m|\geq \varepsilon)\leq \dfrac{\sigma^2}{n\varepsilon^2}$ .
Comment appliquer l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev pour contrôler $P(|X-E(X)| \geq \varepsilon)$ ?Voir
3
J'impose $\dfrac{\sigma^2}{n\varepsilon^2}= \alpha$ pour atteindre le niveau $1-\alpha$ , d'où $\varepsilon = \dfrac{\sigma}{\sqrt{n\alpha}}$ .
4
Je conclus : $\left[\overline{X}_n - \dfrac{\sigma}{\sqrt{n\alpha}},\; \overline{X}_n + \dfrac{\sigma}{\sqrt{n\alpha}}\right]$ est un IC de $m$ au niveau $1-\alpha$ , plus large que l'IC exact gaussien ( $u_{1-\alpha/2}$ étant remplacé par $1/\sqrt{\alpha}$ ).

Pour comprendre, fais des exercices !

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Exercice d'exemple

Reprendre l'exemple des $n=25$ mesures normales ( $\sigma = 0{,}4$ , $\overline{x}_n = 12{,}3$ ) au niveau $95\%$ via Bienaymé-Tchebychev, sans exploiter la normalité.

Étape 1 —

Je pose

(X_1,\dots,X_n)

i.i.d. d'espérance

m

(inconnue) et d'écart-type

\sigma>0

connu, sans supposer la loi normale.

On suppose seulement $(X_i)$ i.i.d. d'espérance $m$ et d'écart-type $\sigma = 0{,}4$ connu.

Étape 2 —

Je calcule

V(\overline{X}_n) = \sigma^2/n

et j'applique Bienaymé-Tchebychev :

P(|\overline{X}_n - m|\geq \varepsilon)\leq \dfrac{\sigma^2}{n\varepsilon^2}

On calcule $V(\overline{X}_n)= 0{,}16/25 = 0{,}0064$ et $P(|\overline{X}_n - m|\geq \varepsilon)\leq \dfrac{0{,}0064}{\varepsilon^2}$ .

Étape 3 —

J'impose

\dfrac{\sigma^2}{n\varepsilon^2}= \alpha

pour atteindre le niveau

1-\alpha

, d'où

\varepsilon = \dfrac{\sigma}{\sqrt{n\alpha}}

On impose $\dfrac{0{,}0064}{\varepsilon^2}= 0{,}05$ soit $\varepsilon = 0{,}4/\sqrt{25\cdot 0{,}05}= 0{,}4/\sqrt{1{,}25}\approx 0{,}358$ .

Étape 4 —

Je conclus :

\left[\overline{X}_n - \dfrac{\sigma}{\sqrt{n\alpha}},\; \overline{X}_n + \dfrac{\sigma}{\sqrt{n\alpha}}\right]

est un IC de

m

au niveau

1-\alpha

, plus large que l'IC exact gaussien (

u_{1-\alpha/2}

étant remplacé par

1/\sqrt{\alpha}

IC $=[12{,}3 - 0{,}358,\; 12{,}3 + 0{,}358]$ , soit une demi-largeur $\approx 2{,}3$ fois plus grande que l'IC exact gaussien ( $0{,}157$ ).

$\mathrm{IC}_{95\%}^{BT}(m)\approx [11{,}942,\; 12{,}658]$ , nettement plus large que l'IC exact.

Application guidée

On mesure $n=50$ fois une quantité non-gaussienne d'espérance $m$ et d'écart-type $\sigma = 3$ connu. On observe $\overline{x}_n = 7{,}2$ . Donner un IC de $m$ au niveau $90\%$ .

Application autonome 1

Pour $n=400$ , $\sigma = 2$ connu, $\overline{x}_n = 10$ , comparer l'IC de Bienaymé-Tchebychev à l'IC exact gaussien au niveau $95\%$ .

Application autonome 2

On effectue $n = 100$ mesures d'une grandeur physique d'espérance $m$ avec un écart-type $\sigma = 1$ connu, sans hypothèse de normalité. On observe $\overline{x}_n = 5{,}4$ . Donner un IC de $m$ au niveau $95\%$ par Bienaymé-Tchebychev.

Application autonome 3

Comparer, pour $n = 100$ et $\sigma = 1$ connu, la demi-largeur de l'IC de Bienaymé-Tchebychev à $95\%$ à celle de l'IC exact gaussien $\pm 1{,}96 \sigma/\sqrt{n}$ .

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