Comment construire un intervalle de confiance de la moyenne d'une loi normale d'écart-type connu ?

En appliquant Bienaymé-Tchebychev comme borne plus grossière indépendante de la normalité

L'objectif

Construire un IC de la moyenne $m$ à $\sigma$ connu, sans hypothèse de normalité, au prix d'une demi-largeur plus grande.

Le principe

Si $(X_i)$ sont i.i.d. d'espérance $m$ et d'écart-type $\sigma$ connu, alors $V(\overline{X}_n) = \sigma^2/n$ et Bienaymé-Tchebychev donne $P(|\overline{X}_n - m|\geq \varepsilon)\leq \dfrac{\sigma^2}{n\varepsilon^2}$ .

La méthode

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Je pose $(X_1,\dots,X_n)$ i.i.d. d'espérance $m$ (inconnue) et d'écart-type $\sigma>0$ connu, sans supposer la loi normale.
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Je calcule $V(\overline{X}_n) = \sigma^2/n$ et j'applique Bienaymé-Tchebychev : $P(|\overline{X}_n - m|\geq \varepsilon)\leq \dfrac{\sigma^2}{n\varepsilon^2}$ .
Comment appliquer l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev pour contrôler $P(|X-E(X)| \geq \varepsilon)$ ?Voir
3
J'impose $\dfrac{\sigma^2}{n\varepsilon^2}= \alpha$ pour atteindre le niveau $1-\alpha$ , d'où $\varepsilon = \dfrac{\sigma}{\sqrt{n\alpha}}$ .
4
Je conclus : $\left[\overline{X}_n - \dfrac{\sigma}{\sqrt{n\alpha}},\; \overline{X}_n + \dfrac{\sigma}{\sqrt{n\alpha}}\right]$ est un IC de $m$ au niveau $1-\alpha$ , plus large que l'IC exact gaussien ( $u_{1-\alpha/2}$ étant remplacé par $1/\sqrt{\alpha}$ ).

Exemple corrigé

Difficulté croissante de 1 à 3

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