Comment appliquer l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev pour contrôler $P(|X-E(X)| \geq \varepsilon)$ ?

En vérifiant que $V(X)$ existe puis en écrivant $P(|X-E(X)| \geq \varepsilon) \leq V(X)/\varepsilon^2$

L'objectif

Majorer la probabilité que $X$ s'écarte de son espérance d'au moins $\varepsilon$ , à l'aide de sa variance.

Le principe

Inégalité de Bienaymé-Tchebychev : si $X$ admet une variance $V(X)$ , alors pour tout $\varepsilon > 0$ , $P(|X - E(X)| \geq \varepsilon) \leq \dfrac{V(X)}{\varepsilon^2}$ .

La méthode

1
Je vérifie que $V(X)$ existe (donc $E(X)$ aussi) et je fixe le réel $\varepsilon > 0$ .
2
J'applique Bienaymé-Tchebychev : $P(|X - E(X)| \geq \varepsilon) \leq \dfrac{V(X)}{\varepsilon^2}$ .
3
Je calcule explicitement $E(X)$ et $V(X)$ , puis je substitue dans la borne pour obtenir la majoration finale.

Exemple corrigé

Difficulté croissante de 1 à 4

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En vérifiant que V(X)V(X)V(X) existe puis en écrivant P(∣X−E(X)∣≥ε)≤V(X)/ε2P(|X-E(X)| \geq \varepsilon) \leq V(X)/\varepsilon^2P(∣X−E(X)∣≥ε)≤V(X)/ε2

Exemple corrigé

En vérifiant que $V(X)$ existe puis en écrivant $P(|X-E(X)| \geq \varepsilon) \leq V(X)/\varepsilon^2$