Comment montrer qu'une variable… : En étudiant la convergence absolue de… — ECG2 approfondies | MetMat

Comment montrer qu'une variable à densité admet une espérance et la calculer ?

En étudiant la convergence absolue de $\int t f_X(t)\,\mathrm{d}t$ puis en calculant l'intégrale

Démontrer l'existence de l'espérance d'une variable aléatoire $X$ à densité, puis la calculer explicitement.

Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Soit $X$ de densité $f_X(t)=\mathbf{1}_{[0,1]}(t)$ (loi uniforme sur $[0,1]$ ). Montrer que $X$ admet une espérance et la calculer.

L'objectif

Démontrer l'existence de l'espérance d'une variable aléatoire $X$ à densité, puis la calculer explicitement.

Le principe

Une variable aléatoire $X$ de densité $f_X$ admet une espérance si et seulement si l'intégrale $\int_{-\infty}^{+\infty} t\,f_X(t)\,\mathrm{d}t$ est absolument convergente, et on a alors $E(X)=\int_{-\infty}^{+\infty} t\,f_X(t)\,\mathrm{d}t$ .

La méthode

1
J'identifie la densité $f_X$ de $X$ et le support $\{t\in\mathbb{R} : f_X(t)\neq 0\}$ pour réduire l'intégrale à ce domaine.
2
J'étudie la convergence absolue de $\int_{-\infty}^{+\infty} |t|\,f_X(t)\,\mathrm{d}t$ en traitant séparément les bornes infinies et les points où $f_X$ n'est pas continue.
3
Si l'intégrale converge absolument, je conclus que $E(X)$ existe puis je calcule $E(X)=\int_{-\infty}^{+\infty} t\,f_X(t)\,\mathrm{d}t$ par primitivation, intégration par parties ou changement de variable.
4
Je donne la valeur exacte de $E(X)$ .

Pour comprendre, fais des exercices !

Exercice d'exemple

Soit $X$ de densité $f_X(t)=\mathbf{1}_{[0,1]}(t)$ (loi uniforme sur $[0,1]$ ). Montrer que $X$ admet une espérance et la calculer.

Étape 1 —

J'identifie la densité

f_X

X

et le support

\{t\in\mathbb{R} : f_X(t)\neq 0\}

pour réduire l'intégrale à ce domaine.

La densité $f_X$ est nulle hors de $[0,1]$ ; le support est donc $[0,1]$ , et l'intégrale se réduit à $\int_0^1 t\,\mathrm{d}t$ .

Étape 2 —

J'étudie la convergence absolue de

\int_{-\infty}^{+\infty} |t|\,f_X(t)\,\mathrm{d}t

en traitant séparément les bornes infinies et les points où

f_X

n'est pas continue.

La fonction $t\mapsto |t|\,f_X(t)=t\mathbf{1}_{[0,1]}(t)$ est continue et bornée sur $[0,1]$ qui est borné, donc $\int_0^1 t\,\mathrm{d}t$ converge (absolument).

Étape 3 —

Si l'intégrale converge absolument, je conclus que

E(X)

existe puis je calcule

E(X)=\int_{-\infty}^{+\infty} t\,f_X(t)\,\mathrm{d}t

par primitivation, intégration par parties ou changement de variable.

Je calcule $E(X)=\int_0^1 t\,\mathrm{d}t=\left[\frac{t^2}{2}\right]_0^1=\frac{1}{2}$ .

Étape 4 —

Je donne la valeur exacte de

E(X)

Donc $E(X)=\frac{1}{2}$ .

$E(X)=\dfrac{1}{2}$ .

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Comment montrer qu'une variable à densité admet une espérance et la calculer ?

En étudiant la convergence absolue de ∫tfX(t) dt\int t f_X(t)\,\mathrm{d}t∫tfX​(t)dt puis en calculant l'intégrale

Pour comprendre, fais des exercices !

En étudiant la convergence absolue de $\int t f_X(t)\,\mathrm{d}t$ puis en calculant l'intégrale