Comment calculer la variance et l'écart-type d'une variable à densité ?

En appliquant la formule de Koenig-Huygens $V(X)=E(X^2)-E(X)^2$

Calculer la variance d'une variable à densité à partir des moments d'ordre 1 et d'ordre 2.

Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Soit $X\sim\mathcal{U}([0,1])$ . Calculer $V(X)$ et $\sigma(X)$ .

L'objectif

Calculer la variance d'une variable à densité à partir des moments d'ordre 1 et d'ordre 2.

Le principe

Formule de Koenig-Huygens : si $X$ admet un moment d'ordre 2, alors $V(X)=E(X^2)-E(X)^2$ et $\sigma(X)=\sqrt{V(X)}$ .

La méthode

1
Je vérifie que $X$ admet un moment d'ordre 2 en étudiant la convergence absolue de $\int t^2 f_X(t)\,\mathrm{d}t$ .
2
Je calcule $E(X)=\int t\,f_X(t)\,\mathrm{d}t$ par transfert.
3
Je calcule $E(X^2)=\int t^2\,f_X(t)\,\mathrm{d}t$ par transfert.
4
J'applique Koenig-Huygens : $V(X)=E(X^2)-E(X)^2$ , puis $\sigma(X)=\sqrt{V(X)}$ .

Pour comprendre, fais des exercices !

Exercice d'exemple

Soit $X\sim\mathcal{U}([0,1])$ . Calculer $V(X)$ et $\sigma(X)$ .

Étape 1 —

Je vérifie que

X

admet un moment d'ordre 2 en étudiant la convergence absolue de

\int t^2 f_X(t)\,\mathrm{d}t

.

La densité $f_X(t)=\mathbf{1}_{[0,1]}(t)$ est à support borné, $\int_0^1 t^2\,\mathrm{d}t=\frac{1}{3}$ converge, donc $X$ admet un moment d'ordre 2.

Étape 2 —

Je calcule

E(X)=\int t\,f_X(t)\,\mathrm{d}t

par transfert.

$E(X)=\int_0^1 t\,\mathrm{d}t=\frac{1}{2}$ .

Étape 3 —

Je calcule

E(X^2)=\int t^2\,f_X(t)\,\mathrm{d}t

par transfert.

$E(X^2)=\int_0^1 t^2\,\mathrm{d}t=\frac{1}{3}$ .

Étape 4 —

J'applique Koenig-Huygens :

V(X)=E(X^2)-E(X)^2

, puis

\sigma(X)=\sqrt{V(X)}

.

$V(X)=\frac{1}{3}-\frac{1}{4}=\frac{1}{12}$ , donc $\sigma(X)=\frac{1}{2\sqrt{3}}$ .

$V(X)=\dfrac{1}{12}$ , $\sigma(X)=\dfrac{1}{2\sqrt{3}}$ .

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,

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