Comment calculer la variance et l'écart-type d'une variable à densité ?

En revenant à la définition $V(X)=E((X-E(X))^2)=\int (t-E(X))^2 f_X(t)\,\mathrm{d}t$

Calculer la variance d'une variable à densité en utilisant directement sa définition comme espérance du carré de la variable centrée.

Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Soit $X\sim\mathcal{U}([a,b])$ avec $a<b$ . Calculer $V(X)$ par la définition.

L'objectif

Calculer la variance d'une variable à densité en utilisant directement sa définition comme espérance du carré de la variable centrée.

Le principe

Par définition, si $X$ admet un moment d'ordre 2, alors $V(X)=E\bigl((X-E(X))^2\bigr)=\int_{-\infty}^{+\infty}(t-E(X))^2 f_X(t)\,\mathrm{d}t$ (par transfert appliqué à $g(t)=(t-E(X))^2$ ).

La méthode

1
Je calcule $E(X)$ par transfert et je vérifie que $X$ admet un moment d'ordre 2 (convergence de $\int t^2 f_X(t)\,\mathrm{d}t$ ).
2
Je pose $m=E(X)$ et j'écris $V(X)=\int_{-\infty}^{+\infty}(t-m)^2 f_X(t)\,\mathrm{d}t$ par transfert appliqué à $g(t)=(t-m)^2$ .
3
Je calcule l'intégrale en développant $(t-m)^2$ ou en effectuant le changement de variable $u=t-m$ .
4
Je donne $V(X)$ et, si nécessaire, $\sigma(X)=\sqrt{V(X)}$ .

Pour comprendre, fais des exercices !

Exercice d'exemple

Soit $X\sim\mathcal{U}([a,b])$ avec $a<b$ . Calculer $V(X)$ par la définition.

Étape 1 —

Je calcule

E(X)

par transfert et je vérifie que

X

admet un moment d'ordre 2 (convergence de

\int t^2 f_X(t)\,\mathrm{d}t

).

Densité $f_X(t)=\frac{1}{b-a}\mathbf{1}_{[a,b]}(t)$ , $X$ à support borné donc moments d'ordre 2 existent. On a $E(X)=\frac{a+b}{2}=m$ .

Étape 2 —

Je pose

m=E(X)

et j'écris

V(X)=\int_{-\infty}^{+\infty}(t-m)^2 f_X(t)\,\mathrm{d}t

par transfert appliqué à

g(t)=(t-m)^2

.

$V(X)=\int_a^b (t-m)^2\cdot\frac{1}{b-a}\,\mathrm{d}t$ .

Étape 3 —

Je calcule l'intégrale en développant

(t-m)^2

ou en effectuant le changement de variable

u=t-m

.

Changement de variable $u=t-m$ : $V(X)=\frac{1}{b-a}\int_{-(b-a)/2}^{(b-a)/2} u^2\,\mathrm{d}u=\frac{1}{b-a}\cdot\frac{2}{3}\left(\frac{b-a}{2}\right)^3=\frac{(b-a)^2}{12}$ .

Étape 4 —

Je donne

V(X)

et, si nécessaire,

\sigma(X)=\sqrt{V(X)}

.

Donc $V(X)=\frac{(b-a)^2}{12}$ et $\sigma(X)=\frac{b-a}{2\sqrt{3}}$ .

$V(X)=\dfrac{(b-a)^2}{12}$ .

Les applications suivantes et la correction guidée sont réservées aux membres Premium

La méthode et sa première application corrigée restent en accès libre. Le Premium débloque les applications suivantes, l'aide IA et le suivi de ta maîtrise.

Comment reconnaître et utiliser les lois usuelles

\mathcal{U}([a,b])

,

\mathcal{E}(\lambda)

,

\mathcal{N}(\mu,\sigma^2)

et

\gamma(\nu)

?

Comment exploiter la caractérisation de la loi exponentielle par l'absence de mémoire ?

Comment calculer la variance et l'écart-type d'une variable à densité ?

En revenant à la définition V(X)=E((X−E(X))2)=∫(t−E(X))2fX(t) dtV(X)=E((X-E(X))^2)=\int (t-E(X))^2 f_X(t)\,\mathrm{d}tV(X)=E((X−E(X))2)=∫(t−E(X))2fX​(t)dt

Pour comprendre, fais des exercices !

En revenant à la définition $V(X)=E((X-E(X))^2)=\int (t-E(X))^2 f_X(t)\,\mathrm{d}t$