Comment montrer qu'un scalaire $\lambda$ est valeur propre d'un endomorphisme ou d'une matrice ?

En utilisant un polynôme annulateur et ses racines

Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Soit $A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ telle que $A^2 = A$ (projecteur). Déterminer les valeurs propres possibles de $A$ .

La méthode

1
J'identifie (ou je démontre) un polynôme annulateur $Q$ de $f$ ou de $A$ , typiquement à partir d'une relation de l'énoncé.
2
Je calcule les racines réelles de $Q$ : ce sont les seules valeurs propres possibles de $f$ .
3
Pour montrer que $\lambda$ est effectivement valeur propre, je teste qu'il existe un vecteur propre non nul associé (par résolution de $(A - \lambda I_n) X = 0$ ).
4
Je conclus en listant les racines qui sont valeurs propres, en mentionnant que celles qui ne le sont pas ont été écartées.

Pour comprendre, passons aux exercices.

Exercice d'exemple

Soit $A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ telle que $A^2 = A$ (projecteur). Déterminer les valeurs propres possibles de $A$ .

1

La relation $A^2 = A$ s'écrit $A^2 - A = 0$ , donc $Q(X) = X^2 - X$ est un polynôme annulateur de $A$ .

2

Les racines de $Q$ sont $X^2 - X = X(X-1)$ , soit $X = 0$ et $X = 1$ .

3

Pour un projecteur non trivial, $0$ est valeur propre si $A \neq I_n$ (alors $\ker A \neq \{0\}$ ) et $1$ est valeur propre si $A \neq 0$ (alors $\mathrm{Im}\, A \neq \{0\}$ ).

4

Donc $\mathrm{Sp}(A) \subset \{0, 1\}$ , avec égalité si $A \notin \{0, I_n\}$ .

$\mathrm{Sp}(A) \subset \{0, 1\}$ .

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Pour comprendre, passons aux exercices.

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