Comment montrer qu'un scalaire $\lambda$ est valeur propre d'un endomorphisme ou d'une matrice ? | MetMat

Comment montrer qu'un scalaire $\lambda$ est valeur propre d'un endomorphisme ou d'une matrice ?

En utilisant un polynôme annulateur et ses racines

Restreindre les valeurs propres candidates aux racines d'un polynôme annulateur connu, puis vérifier lesquelles sont effectivement valeurs propres.

L'objectif

Restreindre les valeurs propres candidates aux racines d'un polynôme annulateur connu, puis vérifier lesquelles sont effectivement valeurs propres.

Le principe

Si $Q \in \mathbb{R}[X]$ vérifie $Q(f) = 0$ (i.e. $Q$ annule $f$ ), alors toute valeur propre $\lambda$ de $f$ est racine de $Q$ ; la réciproque n'est pas automatique, il faut tester.

La méthode

1
J'identifie (ou je démontre) un polynôme annulateur $Q$ de $f$ ou de $A$ , typiquement à partir d'une relation de l'énoncé.
2
Je calcule les racines réelles de $Q$ : ce sont les seules valeurs propres possibles de $f$ .
3
Pour montrer que $\lambda$ est effectivement valeur propre, je teste qu'il existe un vecteur propre non nul associé (par résolution de $(A - \lambda I_n) X = 0$ ).
4
Je conclus en listant les racines qui sont valeurs propres, en mentionnant que celles qui ne le sont pas ont été écartées.

Pour comprendre, fais des exercices !

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Exercice d'exemple

Soit $A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ telle que $A^2 = A$ (projecteur). Déterminer les valeurs propres possibles de $A$ .

Étape 1 —

J'identifie (ou je démontre) un polynôme annulateur

Q

f

ou de

A

, typiquement à partir d'une relation de l'énoncé.

La relation $A^2 = A$ s'écrit $A^2 - A = 0$ , donc $Q(X) = X^2 - X$ est un polynôme annulateur de $A$ .

Étape 2 —

Je calcule les racines réelles de

Q

: ce sont les seules valeurs propres possibles de

f

Les racines de $Q$ sont $X^2 - X = X(X-1)$ , soit $X = 0$ et $X = 1$ .

Étape 3 —

Pour montrer que

\lambda

est effectivement valeur propre, je teste qu'il existe un vecteur propre non nul associé (par résolution de

(A - \lambda I_n) X = 0

Pour un projecteur non trivial, $0$ est valeur propre si $A \neq I_n$ (alors $\ker A \neq \{0\}$ ) et $1$ est valeur propre si $A \neq 0$ (alors $\mathrm{Im}\, A \neq \{0\}$ ).

Étape 4 —

Je conclus en listant les racines qui sont valeurs propres, en mentionnant que celles qui ne le sont pas ont été écartées.

Donc $\mathrm{Sp}(A) \subset \{0, 1\}$ , avec égalité si $A \notin \{0, I_n\}$ .

$\mathrm{Sp}(A) \subset \{0, 1\}$ .

Application guidée

Soit $A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ telle que $A^2 = I_n$ (symétrie). Déterminer les valeurs propres possibles de $A$ .

Application autonome 1

Soit $A \in \mathcal{M}_3(\mathbb{R})$ telle que $A^3 - 3A^2 + 2A = 0$ . Déterminer les valeurs propres possibles de $A$ .

Application autonome 2

Soit $A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ telle que $A^2 = 4I_n$ . Déterminer les valeurs propres possibles de $A$ .

Application autonome 3

Soit $A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ vérifiant $A^2 - 5A + 6I_n = 0$ . Déterminer les valeurs propres possibles de $A$ .

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