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Comment construire un intervalle de confiance de g(θ)g(\theta) au niveau 1−α1-\alpha à l'aide de Bienaymé-Tchebychev ?

En imposant la demi-largeur cible de l'IC pour déterminer la taille minimale nn d'échantillon

L'objectif

Déterminer la taille minimale nn d'un nn-échantillon pour qu'un IC via Bienaymé-Tchebychev ait une demi-largeur ε\varepsilon donnée au niveau 1−α1-\alpha.

Le principe

L'inégalité V(Tn)/ε2≤αV(T_n)/\varepsilon^2\leq \alpha fournie par Bienaymé-Tchebychev impose n≥V(X)/(αε2)n\geq V(X)/(\alpha\varepsilon^2) (resp. n≥M/(αε2)n\geq M/(\alpha\varepsilon^2) après majoration uniforme de VV).

La méthode
  1. 1
    Je pose la demi-largeur cible ε>0\varepsilon > 0 et le niveau 1−α1-\alpha ; j'identifie V(Tn)V(T_n) ou une borne V(Tn)≤M/nV(T_n)\leq M/n.
  2. 2
    J'écris Bienaymé-Tchebychev : P(∣Tn−g(θ)∣≥ε)≤V(Tn)/ε2≤M/(nε2)P(|T_n - g(\theta)|\geq \varepsilon)\leq V(T_n)/\varepsilon^2 \leq M/(n\varepsilon^2).
    Voir
  3. 3
    J'impose M/(nε2)≤αM/(n\varepsilon^2)\leq \alpha, ce qui équivaut à n≥M/(αε2)n\geq M/(\alpha \varepsilon^2).
  4. 4
    Je conclus en prenant la plus petite valeur entière n≥⌈M/(αε2)⌉n \geq \lceil M/(\alpha \varepsilon^2) \rceil : tout nn-échantillon de cette taille fournit un IC de demi-largeur ≤ε\leq \varepsilon au niveau ≥1−α\geq 1-\alpha.

Exemple corrigé

Difficulté croissante de 1 à 3

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