Comment calculer l'espérance et la variance de la moyenne empirique $\overline{X}_n$ et de la variance empirique ?

En développant $S_n^2 = \frac{1}{n}\sum X_i^2 - \overline{X}_n^2$ pour calculer son espérance et identifier son biais

L'objectif

Obtenir $E(S_n^2) = \frac{n-1}{n}\sigma^2$ et en déduire l'estimateur corrigé $\widetilde{S}_n^2 = \frac{n}{n-1} S_n^2$ sans biais de $\sigma^2$ .

Le principe

Pour un $n$ -échantillon i.i.d. de $X$ avec $V(X)=\sigma^2$ , la formule de Koenig-Huygens appliquée à $S_n^2$ et le calcul de $E(\overline{X}_n^2) = \sigma^2/n + m^2$ donnent $E(S_n^2) = \frac{n-1}{n}\sigma^2$ .

La méthode

1
Je pose $S_n^2 = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n (X_i - \overline{X}_n)^2$ et je développe : $S_n^2 = \frac{1}{n}\sum X_i^2 - \overline{X}_n^2$ (identité de Koenig-Huygens).
2
Par linéarité, $E\!\left(\frac{1}{n}\sum X_i^2\right) = E(X_1^2) = \sigma^2 + m^2$ par Koenig-Huygens appliqué à $X_1$ .
3
J'utilise $E(\overline{X}_n^2) = V(\overline{X}_n) + E(\overline{X}_n)^2 = \sigma^2/n + m^2$ , puis $E(S_n^2) = (\sigma^2 + m^2) - (\sigma^2/n + m^2) = \frac{n-1}{n}\sigma^2$ .
4
Je conclus : $S_n^2$ est biaisé de biais $-\sigma^2/n$ , et $\widetilde{S}_n^2 = \frac{n}{n-1} S_n^2$ est un estimateur sans biais de $\sigma^2$ .
Comment montrer qu'un estimateur est sans biais en vérifiant $E_\theta(T_n) = g(\theta)$ ?Voir

Exemple corrigé

Difficulté croissante de 1 à 3

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En développant Sn2=1n∑Xi2−X‾n2S_n^2 = \frac{1}{n}\sum X_i^2 - \overline{X}_n^2Sn2​=n1​∑Xi2​−Xn2​ pour calculer son espérance et identifier son biais

Exemple corrigé

En développant $S_n^2 = \frac{1}{n}\sum X_i^2 - \overline{X}_n^2$ pour calculer son espérance et identifier son biais