Comment montrer que $n$ variables aléatoires sont mutuellement indépendantes ? | MetMat

Comment montrer que $n$ variables aléatoires sont mutuellement indépendantes ?

En vérifiant $F_{(X_1,\dots,X_n)}=\prod_{k=1}^{n} F_{X_k}$ sur $\mathbb{R}^n$

Prouver l'indépendance mutuelle de $(X_1,\dots,X_n)$ via la caractérisation par factorisation de la FdR conjointe.

L'objectif

Prouver l'indépendance mutuelle de $(X_1,\dots,X_n)$ via la caractérisation par factorisation de la FdR conjointe.

Le principe

D'après le BO (résultat admis) : $X_1,\dots,X_n$ sont mutuellement indépendantes si et seulement si $F_{(X_1,\dots,X_n)}(x_1,\dots,x_n)=\prod_{k=1}^{n} F_{X_k}(x_k)$ pour tous réels $x_1,\dots,x_n$ .

La méthode

1
Je calcule séparément la FdR conjointe $F_{(X_1,\dots,X_n)}$ et les $n$ FdR marginales $F_{X_1},\dots,F_{X_n}$ .
2
Je fixe $(x_1,\dots,x_n)\in \mathbb{R}^n$ quelconque.
3
Je vérifie l'égalité $F_{(X_1,\dots,X_n)}(x_1,\dots,x_n)=\prod_{k=1}^{n} F_{X_k}(x_k)$ , en découpant éventuellement selon les zones du $n$ -uplet.
4
Je conclus, par la caractérisation admise au BO, que $X_1,\dots,X_n$ sont mutuellement indépendantes.

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Exercice d'exemple

Soit $(X,Y)$ un couple de FdR conjointe $F_{(X,Y)}(x,y)=(1-e^{-x})(1-e^{-y})$ pour $x,y\geq 0$ et $0$ sinon. Montrer que $X$ et $Y$ sont indépendantes.

Étape 1 —

Je calcule séparément la FdR conjointe

F_{(X_1,\dots,X_n)}

et les

n

FdR marginales

F_{X_1},\dots,F_{X_n}

Je passe à la limite pour les marginales : $F_X(x)=\lim_{y\to +\infty} F_{(X,Y)}(x,y)=1-e^{-x}$ pour $x\geq 0$ ; de même $F_Y(y)=1-e^{-y}$ pour $y\geq 0$ .

Étape 2 —

Je fixe

(x_1,\dots,x_n)\in \mathbb{R}^n

quelconque.

Je fixe $(x,y)\in \mathbb{R}^2$ quelconque.

Étape 3 —

Je vérifie l'égalité

F_{(X_1,\dots,X_n)}(x_1,\dots,x_n)=\prod_{k=1}^{n} F_{X_k}(x_k)

, en découpant éventuellement selon les zones du

n

-uplet.

Pour $x,y\geq 0$ : $F_{(X,Y)}(x,y)=(1-e^{-x})(1-e^{-y})=F_X(x)F_Y(y)$ ; pour $x<0$ ou $y<0$ , $F_{(X,Y)}=0=F_X(x)F_Y(y)$ car l'un des facteurs est nul.

Étape 4 —

Je conclus, par la caractérisation admise au BO, que

X_1,\dots,X_n

sont mutuellement indépendantes.

L'égalité vaut partout sur $\mathbb{R}^2$ , donc $X$ et $Y$ sont indépendantes (et toutes deux de loi $\mathcal{E}(1)$ ).

$X$ et $Y$ sont indépendantes, de loi $\mathcal{E}(1)$ .

Application guidée

Soit $(X,Y)$ un couple de FdR $F_{(X,Y)}(x,y)=\min(F_X(x),F_Y(y))$ avec $X,Y\sim \mathcal{U}[0,1]$ . Les variables $X$ et $Y$ sont-elles indépendantes ?

Application autonome 1

Soient $X_1,\dots,X_n$ des variables telles que $F_{(X_1,\dots,X_n)}(x_1,\dots,x_n)=\prod_{k=1}^{n} \Phi(x_k)$ où $\Phi$ est la FdR de $\mathcal{N}(0,1)$ . Montrer que les $X_i$ sont mutuellement indépendantes et de loi $\mathcal{N}(0,1)$ .

Application autonome 2

Soient $X \sim \mathcal{U}([0, 1])$ et $Y \sim \mathcal{E}(1)$ indépendantes. Vérifier que $F_{(X,Y)}(x, y) = F_X(x) F_Y(y)$ pour tout $(x, y) \in [0,1] \times \mathbb{R}_+$ , puis conclure sur l'indépendance de $X$ et $Y$ .

Application autonome 3

Soit $(X, Y)$ discret avec $F_{(X,Y)}(x,y) = F_X(x) F_Y(y)$ pour tout $(x,y)$ . Montrer que pour tout $(k, \ell)$ , $P(X = k, Y = \ell) = P(X = k) P(Y = \ell)$ .

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En vérifiant F(X1,…,Xn)=∏k=1nFXkF_{(X_1,\dots,X_n)}=\prod_{k=1}^{n} F_{X_k}F(X1​,…,Xn​)​=∏k=1n​FXk​​ sur Rn\mathbb{R}^nRn

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En vérifiant $F_{(X_1,\dots,X_n)}=\prod_{k=1}^{n} F_{X_k}$ sur $\mathbb{R}^n$