Comment déterminer un vecteur propre associé à une valeur propre donnée ?

En résolvant le système linéaire homogène $(A - \lambda I_n) X = 0$

Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Soit $A = \begin{pmatrix} 4 & 1 \\ 2 & 3 \end{pmatrix}$ . Déterminer un vecteur propre associé à $\lambda = 5$ .

La méthode

1
J'écris la matrice $A - \lambda I_n$ en soustrayant $\lambda$ à chaque coefficient diagonal de $A$ .
2
Je résous le système linéaire homogène $(A - \lambda I_n) X = 0$ par la méthode du pivot de Gauss ou par substitution.
3
Je décris l'ensemble des solutions sous forme paramétrée et j'en extrais un vecteur particulier non nul $X_0$ .
4
Je conclus que $X_0$ est un vecteur propre de $A$ associé à $\lambda$ en rappelant que $X_0 \neq 0$ et $A X_0 = \lambda X_0$ .

Pour comprendre, passons aux exercices.

Exercice d'exemple

Soit $A = \begin{pmatrix} 4 & 1 \\ 2 & 3 \end{pmatrix}$ . Déterminer un vecteur propre associé à $\lambda = 5$ .

1

On forme $A - 5 I_2 = \begin{pmatrix} -1 & 1 \\ 2 & -2 \end{pmatrix}$ .

2

Le système $\begin{cases} -x + y = 0 \\ 2x - 2y = 0 \end{cases}$ se réduit à $y = x$ .

3

L'ensemble des solutions est $\{(t, t),\ t \in \mathbb{R}\}$ ; on prend $X_0 = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}$ .

4

On vérifie $A X_0 = \begin{pmatrix} 5 \\ 5 \end{pmatrix} = 5 X_0$ , donc $X_0 = (1,1)$ est vecteur propre associé à $5$ .

Vecteur propre : $X_0 = (1, 1)$ .

Les applications suivantes et la correction guidée sont réservées aux membres Premium

La méthode et sa première application corrigée restent en accès libre. Le Premium débloque les applications suivantes, l'aide IA et le suivi de ta maîtrise.

Comment montrer qu'une famille de vecteurs propres associés à des valeurs propres distinctes est libre ?

Comment montrer qu'un endomorphisme ou une matrice est diagonalisable ?

Comment déterminer un vecteur propre associé à une valeur propre donnée ?

En résolvant le système linéaire homogène (A−λIn)X=0(A - \lambda I_n) X = 0(A−λIn​)X=0

Pour comprendre, passons aux exercices.

En résolvant le système linéaire homogène $(A - \lambda I_n) X = 0$