Comment déterminer un vecteur propre associé à une valeur propre donnée ?

En résolvant l'équation $f(x) = \lambda x$ sur les coordonnées dans une base

Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Soit $f \colon \mathbb{R}_2[X] \to \mathbb{R}_2[X]$ définie par $f(P) = P(0) + P'(0) X$ . Déterminer un vecteur propre associé à $\lambda = 1$ .

La méthode

1
Je fixe une base $\mathcal{B} = (e_1, \dots, e_n)$ adaptée de $E$ et j'écris $x = x_1 e_1 + \dots + x_n e_n$ .
2
Je calcule $f(x)$ à partir de la définition de $f$ et je l'exprime dans $\mathcal{B}$ en termes des $x_i$ .
3
J'écris l'équation $f(x) = \lambda x$ coordonnée par coordonnée, ce qui fournit un système linéaire homogène sur $(x_1, \dots, x_n)$ .
4
Je résous le système, je choisis un vecteur non nul $x_0$ solution, et je vérifie $f(x_0) = \lambda x_0$ pour conclure.

Pour comprendre, passons aux exercices.

Exercice d'exemple

Soit $f \colon \mathbb{R}_2[X] \to \mathbb{R}_2[X]$ définie par $f(P) = P(0) + P'(0) X$ . Déterminer un vecteur propre associé à $\lambda = 1$ .

1

Je travaille dans la base $\mathcal{B} = (1, X, X^2)$ de $\mathbb{R}_2[X]$ et j'écris $P = a + bX + cX^2$ .

2

On a $P(0) = a$ et $P'(0) = b$ , donc $f(P) = a + b X$ .

3

L'équation $f(P) = P$ donne $a + bX = a + bX + cX^2$ , soit $c = 0$ (les coefficients en $1$ et $X$ sont déjà cohérents).

4

En prenant $a = 1$ , $b = 0$ , $c = 0$ , on obtient $P_0 = 1$ non nul et $f(1) = 1 = 1 \cdot P_0$ : $P_0 = 1$ est vecteur propre associé à $1$ .

Vecteur propre : $P_0 = 1$ .

Les applications suivantes et la correction guidée sont réservées aux membres Premium

La méthode et sa première application corrigée restent en accès libre. Le Premium débloque les applications suivantes, l'aide IA et le suivi de ta maîtrise.

Comment montrer qu'une famille de vecteurs propres associés à des valeurs propres distinctes est libre ?

Comment montrer qu'un endomorphisme ou une matrice est diagonalisable ?

Comment déterminer un vecteur propre associé à une valeur propre donnée ?

En résolvant l'équation f(x)=λxf(x) = \lambda xf(x)=λx sur les coordonnées dans une base

Pour comprendre, passons aux exercices.

En résolvant l'équation $f(x) = \lambda x$ sur les coordonnées dans une base