Comment déterminer un vecteur propre associé à une valeur propre donnée ? | MetMat

Comment déterminer un vecteur propre associé à une valeur propre donnée ?

En résolvant l'équation $f(x) = \lambda x$ sur les coordonnées dans une base

Déterminer un vecteur propre d'un endomorphisme $f$ défini abstraitement sur un espace $E$ quelconque.

L'objectif

Déterminer un vecteur propre d'un endomorphisme $f$ défini abstraitement sur un espace $E$ quelconque.

Le principe

Si $\mathcal{B}$ est une base de $E$ et $x = \sum_i x_i e_i$ , alors $f(x) = \lambda x$ équivaut à $\mathrm{Mat}_\mathcal{B}(f) \cdot X = \lambda X$ avec $X$ la colonne des coordonnées de $x$ dans $\mathcal{B}$ .

La méthode

1
Je fixe une base $\mathcal{B} = (e_1, \dots, e_n)$ adaptée de $E$ et j'écris $x = x_1 e_1 + \dots + x_n e_n$ .
2
Je calcule $f(x)$ à partir de la définition de $f$ et je l'exprime dans $\mathcal{B}$ en termes des $x_i$ .
3
J'écris l'équation $f(x) = \lambda x$ coordonnée par coordonnée, ce qui fournit un système linéaire homogène sur $(x_1, \dots, x_n)$ .
4
Je résous le système, je choisis un vecteur non nul $x_0$ solution, et je vérifie $f(x_0) = \lambda x_0$ pour conclure.

Pour comprendre, fais des exercices !

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Exercice d'exemple

Soit $f \colon \mathbb{R}_2[X] \to \mathbb{R}_2[X]$ définie par $f(P) = P(0) + P'(0) X$ . Déterminer un vecteur propre associé à $\lambda = 1$ .

Étape 1 —

Je fixe une base

\mathcal{B} = (e_1, \dots, e_n)

adaptée de

E

et j'écris

x = x_1 e_1 + \dots + x_n e_n

Je travaille dans la base $\mathcal{B} = (1, X, X^2)$ de $\mathbb{R}_2[X]$ et j'écris $P = a + bX + cX^2$ .

Étape 2 —

Je calcule

f(x)

à partir de la définition de

f

et je l'exprime dans

\mathcal{B}

en termes des

x_i

On a $P(0) = a$ et $P'(0) = b$ , donc $f(P) = a + b X$ .

Étape 3 —

J'écris l'équation

f(x) = \lambda x

coordonnée par coordonnée, ce qui fournit un système linéaire homogène sur

(x_1, \dots, x_n)

L'équation $f(P) = P$ donne $a + bX = a + bX + cX^2$ , soit $c = 0$ (les coefficients en $1$ et $X$ sont déjà cohérents).

Étape 4 —

Je résous le système, je choisis un vecteur non nul

x_0

solution, et je vérifie

f(x_0) = \lambda x_0

pour conclure.

En prenant $a = 1$ , $b = 0$ , $c = 0$ , on obtient $P_0 = 1$ non nul et $f(1) = 1 = 1 \cdot P_0$ : $P_0 = 1$ est vecteur propre associé à $1$ .

Vecteur propre : $P_0 = 1$ .

Application guidée

Soit $f \colon \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2$ , $f(x,y) = (3x + 2y, x + 4y)$ . Déterminer un vecteur propre associé à $\lambda = 2$ .

Application autonome 1

Soit $f \colon \mathbb{R}_1[X] \to \mathbb{R}_1[X]$ définie par $f(P)(X) = P(X+1)$ . Déterminer un vecteur propre associé à $\lambda = 1$ .

Application autonome 2

Soit $f \colon \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2$ , $f(x, y) = (5x + 2y, 2x + 2y)$ . Déterminer un vecteur propre associé à $\lambda = 6$ .

Application autonome 3

Soit $f : \mathbb{R}_2[X] \to \mathbb{R}_2[X]$ définie par $f(P) = P - P'$ . Déterminer un vecteur propre associé à $\lambda = 1$ .

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En résolvant l'équation f(x)=λxf(x) = \lambda xf(x)=λx sur les coordonnées dans une base

Pour comprendre, fais des exercices !

En résolvant l'équation $f(x) = \lambda x$ sur les coordonnées dans une base