Comment écrire le développement limité d'ordre 2 de $f$ en un point critique ?

En utilisant $\nabla f(x_0) = 0$ dans $f(x_0+h) = f(x_0) + \langle \nabla f(x_0), h\rangle + \frac{1}{2} q_{x_0}(h) + o(\|h\|^2)$

L'objectif

Exprimer le comportement local de $f$ au voisinage d'un point critique $x_0$ à l'ordre $2$ , comme point de départ de la classification d'ordre $2$ .

Le principe

Pour $f$ de classe $\mathcal{C}^2$ sur un ouvert $\Omega$ , le cours admet $f(x_0 + h) = f(x_0) + \langle \nabla f(x_0), h\rangle + \frac{1}{2} q_{x_0}(h) + \|h\|^2 \varepsilon(h)$ avec $\varepsilon \to 0$ en $0$ ; en un point critique ( $\nabla f(x_0) = 0$ ), le terme linéaire s'annule.

La méthode

1
Je vérifie que $f$ est de classe $\mathcal{C}^2$ sur $\Omega$ et que $x_0 \in \Omega$ est un point critique, c'est-à-dire $\nabla f(x_0) = 0$ .
2
Je calcule la hessienne $\nabla^2 f(x_0)$ et j'écris $q_{x_0}(h) = {}^t H \nabla^2 f(x_0) H$ .
3
J'applique le DL d'ordre $2$ admis : $f(x_0 + h) = f(x_0) + \langle \nabla f(x_0), h\rangle + \tfrac{1}{2} q_{x_0}(h) + o(\|h\|^2)$ , le terme linéaire étant nul car $\nabla f(x_0) = 0$ .
4
J'obtiens ainsi $f(x_0 + h) - f(x_0) = \tfrac{1}{2}\, {}^t H \nabla^2 f(x_0) H + o(\|h\|^2)$ , dont le signe local sera donné par celui de $q_{x_0}$ .

Exemple corrigé

Difficulté croissante de 1 à 4

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En utilisant ∇f(x0)=0\nabla f(x_0) = 0∇f(x0​)=0 dans f(x0+h)=f(x0)+⟨∇f(x0),h⟩+12qx0(h)+o(∥h∥2)f(x_0+h) = f(x_0) + \langle \nabla f(x_0), h\rangle + \frac{1}{2} q_{x_0}(h) + o(\|h\|^2)f(x0​+h)=f(x0​)+⟨∇f(x0​),h⟩+21​qx0​​(h)+o(∥h∥2)

Exemple corrigé

En utilisant $\nabla f(x_0) = 0$ dans $f(x_0+h) = f(x_0) + \langle \nabla f(x_0), h\rangle + \frac{1}{2} q_{x_0}(h) + o(\|h\|^2)$