Comment écrire le développement limité d'ordre 2 de $f$ en un point critique ? | MetMat

Comment écrire le développement limité d'ordre 2 de $f$ en un point critique ?

En utilisant $\nabla f(x_0) = 0$ dans $f(x_0+h) = f(x_0) + \langle \nabla f(x_0), h\rangle + \frac{1}{2} q_{x_0}(h) + o(\|h\|^2)$

Exprimer le comportement local de $f$ au voisinage d'un point critique $x_0$ à l'ordre $2$ , comme point de départ de la classification d'ordre $2$ .

Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Soit $f(x,y) = x^2 + y^2$ . Écrire le DL d'ordre $2$ en $x_0 = (0,0)$ .

L'objectif

Exprimer le comportement local de $f$ au voisinage d'un point critique $x_0$ à l'ordre $2$ , comme point de départ de la classification d'ordre $2$ .

Le principe

Pour $f$ de classe $\mathcal{C}^2$ sur un ouvert $\Omega$ , le cours admet $f(x_0 + h) = f(x_0) + \langle \nabla f(x_0), h\rangle + \frac{1}{2} q_{x_0}(h) + \|h\|^2 \varepsilon(h)$ avec $\varepsilon \to 0$ en $0$ ; en un point critique ( $\nabla f(x_0) = 0$ ), le terme linéaire s'annule.

La méthode

1
Je vérifie que $f$ est de classe $\mathcal{C}^2$ sur $\Omega$ et que $x_0 \in \Omega$ est un point critique, c'est-à-dire $\nabla f(x_0) = 0$ .
2
Je calcule la hessienne $\nabla^2 f(x_0)$ et j'écris $q_{x_0}(h) = {}^t H \nabla^2 f(x_0) H$ .
3
J'applique le DL d'ordre $2$ admis : $f(x_0 + h) = f(x_0) + \langle \nabla f(x_0), h\rangle + \tfrac{1}{2} q_{x_0}(h) + o(\|h\|^2)$ , le terme linéaire étant nul car $\nabla f(x_0) = 0$ .
4
J'obtiens ainsi $f(x_0 + h) - f(x_0) = \tfrac{1}{2}\, {}^t H \nabla^2 f(x_0) H + o(\|h\|^2)$ , dont le signe local sera donné par celui de $q_{x_0}$ .

Pour comprendre, fais des exercices !

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Exercice d'exemple

Soit $f(x,y) = x^2 + y^2$ . Écrire le DL d'ordre $2$ en $x_0 = (0,0)$ .

Étape 1 —

Je vérifie que

f

est de classe

\mathcal{C}^2

sur

\Omega

et que

x_0 \in \Omega

est un point critique, c'est-à-dire

\nabla f(x_0) = 0

$f$ est polynomiale donc $\mathcal{C}^2$ sur $\mathbb{R}^2$ . On a $\nabla f(x,y) = (2x, 2y)$ , donc $\nabla f(0,0) = 0$ : $(0,0)$ est point critique.

Étape 2 —

Je calcule la hessienne

\nabla^2 f(x_0)

et j'écris

q_{x_0}(h) = {}^t H \nabla^2 f(x_0) H

Hessienne : $\nabla^2 f(x,y) = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}$ , constante, donc $\nabla^2 f(0,0) = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}$ et $q_{(0,0)}(h) = 2 h_1^2 + 2 h_2^2$ .

Étape 3 —

J'applique le DL d'ordre

2

admis :

f(x_0 + h) = f(x_0) + \langle \nabla f(x_0), h\rangle + \tfrac{1}{2} q_{x_0}(h) + o(\|h\|^2)

, le terme linéaire étant nul car

\nabla f(x_0) = 0

DL admis : $f(h_1,h_2) = 0 + 0 + \tfrac{1}{2}(2 h_1^2 + 2 h_2^2) + o(\|h\|^2)$ .

Étape 4 —

J'obtiens ainsi

f(x_0 + h) - f(x_0) = \tfrac{1}{2}\, {}^t H \nabla^2 f(x_0) H + o(\|h\|^2)

, dont le signe local sera donné par celui de

q_{x_0}

On retrouve exactement $f(h_1,h_2) = h_1^2 + h_2^2 + o(\|h\|^2)$ (ici le reste est en fait nul car $f$ est déjà quadratique).

$f(h_1,h_2) = h_1^2 + h_2^2 + o(\|h\|^2)$ .

Application guidée

Soit $f(x,y) = x^2 - y^2 + 3 x y^2$ . Écrire le DL d'ordre $2$ en $x_0 = (0,0)$ .

Application autonome 1

Soit $f(x,y) = e^{-x^2 - y^2}$ . Écrire le DL d'ordre $2$ en $x_0 = (0,0)$ .

Application autonome 2

Soit $f(x,y) = x^3 + y^3 - 3 x y$ . Écrire le DL d'ordre $2$ au point critique $x_0 = (1,1)$ .

Application autonome 3

Soit $f(x, y) = x^2 + 2 x y + 3 y^2 - 6 y$ . Écrire le DL d'ordre $2$ au point critique $x_0$ .

Crée ton compte pour accéder à la fiche et aux exercices

En utilisant ∇f(x0)=0\nabla f(x_0) = 0∇f(x0​)=0 dans f(x0+h)=f(x0)+⟨∇f(x0),h⟩+12qx0(h)+o(∥h∥2)f(x_0+h) = f(x_0) + \langle \nabla f(x_0), h\rangle + \frac{1}{2} q_{x_0}(h) + o(\|h\|^2)f(x0​+h)=f(x0​)+⟨∇f(x0​),h⟩+21​qx0​​(h)+o(∥h∥2)

Pour comprendre, fais des exercices !

En utilisant $\nabla f(x_0) = 0$ dans $f(x_0+h) = f(x_0) + \langle \nabla f(x_0), h\rangle + \frac{1}{2} q_{x_0}(h) + o(\|h\|^2)$