Comment appliquer le théorème limite central pour approcher la loi d'une somme de variables i.i.d. ? | MetMat

Comment appliquer le théorème limite central pour approcher la loi d'une somme de variables i.i.d. ?

En vérifiant i.i.d., $E(X) = m$ , $V(X) = \sigma^2 > 0$ , puis $X_n^* = (S_n - nm)/(\sigma\sqrt{n}) \xrightarrow{\mathcal{L}} \mathcal{N}(0,1)$

Établir la convergence en loi vers $\mathcal{N}(0,1)$ de la somme centrée-réduite d'un échantillon i.i.d. de variance finie.

Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Soient $X_1, \dots, X_n$ i.i.d. de loi $\mathcal{E}(1)$ et $S_n = \sum_{i=1}^n X_i$ . Donner la loi asymptotique de $X_n^*$ .

L'objectif

Établir la convergence en loi vers $\mathcal{N}(0,1)$ de la somme centrée-réduite d'un échantillon i.i.d. de variance finie.

Le principe

Théorème limite central (admis au BO) : si $(X_n)_{n \geq 1}$ est une suite i.i.d. telle que $E(X_1) = m$ et $V(X_1) = \sigma^2 \in ]0, +\infty[$ , alors en posant $S_n = \sum_{i=1}^n X_i$ , la variable centrée-réduite $X_n^* = \dfrac{S_n - n m}{\sigma \sqrt{n}}$ converge en loi vers $\mathcal{N}(0,1)$ .

La méthode

1
Je vérifie les hypothèses du TLC : $(X_i)_{i \geq 1}$ i.i.d., $m = E(X_1)$ et $\sigma^2 = V(X_1) \in ]0, +\infty[$ .
2
Je pose $S_n = \sum_{i=1}^n X_i$ et la variable centrée-réduite $X_n^* = \dfrac{S_n - nm}{\sigma\sqrt{n}}$ .
3
Par le TLC, $X_n^* \xrightarrow{\mathcal{L}} \mathcal{N}(0,1)$ ; j'explicite $E(S_n) = n m$ et $V(S_n) = n \sigma^2$ pour interpréter la standardisation.

Pour comprendre, fais des exercices !

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Exercice d'exemple

Soient $X_1, \dots, X_n$ i.i.d. de loi $\mathcal{E}(1)$ et $S_n = \sum_{i=1}^n X_i$ . Donner la loi asymptotique de $X_n^*$ .

Étape 1 —

Je vérifie les hypothèses du TLC :

(X_i)_{i \geq 1}

i.i.d.,

m = E(X_1)

\sigma^2 = V(X_1) \in ]0, +\infty[

Les $X_i$ sont i.i.d. de loi $\mathcal{E}(1)$ : $m = E(X_1) = 1$ et $\sigma^2 = V(X_1) = 1 > 0$ ; les hypothèses du TLC sont satisfaites.

Étape 2 —

Je pose

S_n = \sum_{i=1}^n X_i

et la variable centrée-réduite

X_n^* = \dfrac{S_n - nm}{\sigma\sqrt{n}}

Je pose $S_n = \sum_{i=1}^n X_i$ et $X_n^* = \dfrac{S_n - n}{\sqrt{n}}$ .

Étape 3 —

Par le TLC,

X_n^* \xrightarrow{\mathcal{L}} \mathcal{N}(0,1)

; j'explicite

E(S_n) = n m

V(S_n) = n \sigma^2

pour interpréter la standardisation.

Par le TLC, $X_n^* \xrightarrow{\mathcal{L}} \mathcal{N}(0,1)$ ; on a $E(S_n) = n$ et $V(S_n) = n$ .

$X_n^* = (S_n - n)/\sqrt{n} \xrightarrow{\mathcal{L}} \mathcal{N}(0,1)$ .

Application guidée

Soient $X_1, \dots, X_{100}$ i.i.d. de loi $\mathcal{U}([0,1])$ . Approcher $P(S_{100} \geq 55)$ où $S_{100} = \sum_{i=1}^{100} X_i$ .

Application autonome 1

Soient $X_1, \dots, X_n$ i.i.d. de loi $\mathcal{B}(p)$ avec $p \in ]0,1[$ . Donner la loi asymptotique de la moyenne empirique centrée-réduite.

Application autonome 2

Soient $X_1, \dots, X_n$ i.i.d. d'espérance $m = 3$ et d'écart-type $\sigma = 2$ . Donner la loi asymptotique de la moyenne empirique $\overline{X}_n$ .

Application autonome 3

Soient $X_1, \dots, X_n$ i.i.d. de loi $\mathcal{G}(1/3)$ et $S_n = \sum_{i=1}^n X_i$ . Donner la loi asymptotique de $X_n^* = (S_n - n \cdot 3)/\sigma\sqrt{n}$ .

Crée ton compte pour accéder à la fiche et aux exercices

En vérifiant i.i.d., E(X)=mE(X) = mE(X)=m, V(X)=σ2>0V(X) = \sigma^2 > 0V(X)=σ2>0, puis Xn∗=(Sn−nm)/(σn)→LN(0,1)X_n^* = (S_n - nm)/(\sigma\sqrt{n}) \xrightarrow{\mathcal{L}} \mathcal{N}(0,1)Xn∗​=(Sn​−nm)/(σn​)L​N(0,1)

Pour comprendre, fais des exercices !

En vérifiant i.i.d., $E(X) = m$ , $V(X) = \sigma^2 > 0$ , puis $X_n^* = (S_n - nm)/(\sigma\sqrt{n}) \xrightarrow{\mathcal{L}} \mathcal{N}(0,1)$