Comment visualiser le plan tangent et mettre en évidence l'orthogonalité du gradient aux lignes de niveau ? | MetMat

Comment visualiser le plan tangent et mettre en évidence l'orthogonalité du gradient aux lignes de niveau ?

En traçant la surface, le plan tangent via `plot_surface` et en superposant `plt.quiver` aux courbes de niveau

L'objectif

Illustrer géométriquement le gradient d'une fonction de deux variables et son orthogonalité aux lignes de niveau.

Le principe

Le plan affine tangent au graphe en $(a,b)$ a pour équation $z = f(a,b) + \partial_x f(a,b)\,(x-a) + \partial_y f(a,b)\,(y-b)$ , et en tout point $\nabla f(a,b) = (\partial_x f, \partial_y f)$ est orthogonal à la ligne de niveau passant par $(a,b)$ .

La méthode

1
Je construis la grille X, Y = np.meshgrid(np.linspace(-2,2,50), np.linspace(-2,2,50)) et Z = f(X, Y).
2
Je choisis un point d'étude $(a,b)$ et je calcule les dérivées partielles $f_x = \partial_x f(a,b)$ et $f_y = \partial_y f(a,b)$ (soit analytiquement, soit par différences finies).
3
Je définis le plan tangent : Z_tan = f(a,b) + fx*(X-a) + fy*(Y-b), puis je superpose ax.plot_surface(X, Y, Z, alpha=0.5) et ax.plot_surface(X, Y, Z_tan, alpha=0.3, color='red') sur la même figure 3D.
4
Sur une seconde figure 2D, je trace les lignes de niveau plt.contour(X, Y, Z, levels=10) puis j'évalue le champ gradient Fx, Fy = df_dx(X, Y), df_dy(X, Y) sur une sous-grille plus grossière.
Comment calculer le gradient $\nabla f(x)$ d'une fonction en un point ?Voir
5
Je saisis plt.quiver(Xq, Yq, Fx, Fy, color='red') pour afficher les flèches gradient ; visuellement, chaque flèche est perpendiculaire à la ligne de niveau qui la traverse.
Comment calculer le gradient $\nabla f(x)$ d'une fonction en un point ?Voir

Évalue la méthode

0/5 validés

Cherche chaque exercice au brouillon, puis coche “j'ai réussi” si tu as trouvé la bonne démarche. Utilise le bouton aide si tu as besoin d'un coup de pouce.

Application guidée 1

Pour $f(x,y) = x^2 + y^2$ , tracer la surface, le plan tangent en $(1,1)$ , et vérifier $\nabla f \perp$ cercles de niveau.

Application guidée 2

Pour $f(x,y) = xy$ , visualiser le plan tangent en $(1,1)$ et le gradient sur les hyperboles de niveau.

Application autonome 1

Pour $f(x,y) = e^{-x^2 - y^2}$ (gaussienne 2D), tracer surface, plan tangent en $(0{,}5, 0{,}5)$ et gradient sur niveaux.

Application autonome 2

Pour $f(x,y) = \ln(1 + x^2 + y^2)$ , tracer la surface et le plan tangent en $(1, 0)$ , puis superposer $\nabla f$ sur les courbes de niveau.

Application autonome 3

Pour $f(x,y) = x^2 - y^2$ (selle), tracer la surface, le plan tangent en $(0, 0)$ et le gradient sur les hyperboles de niveau.

Connecte-toi pour cocher tes exercices réussis et sauvegarder ta progression.

En traçant la surface, le plan tangent via plot_surface et en superposant plt.quiver aux courbes de niveau

Évalue la méthode

En traçant la surface, le plan tangent via `plot_surface` et en superposant `plt.quiver` aux courbes de niveau