Comment exploiter la stabilité de la loi $\gamma$ et de la loi normale pour la somme de variables indépendantes ? | MetMat

Comment exploiter la stabilité de la loi $\gamma$ et de la loi normale pour la somme de variables indépendantes ?

En utilisant la stabilité affine $X_i \sim \mathcal{N}(\mu_i, \sigma_i^2)$ indépendantes $\Rightarrow aX_1 + bX_2 + c \sim \mathcal{N}(a\mu_1 + b\mu_2 + c, a^2\sigma_1^2 + b^2\sigma_2^2)$

Déterminer la loi d'une combinaison linéaire $aX + bY + c$ de variables normales indépendantes.

L'objectif

Déterminer la loi d'une combinaison linéaire $aX + bY + c$ de variables normales indépendantes.

Le principe

Si $X_1 \sim \mathcal{N}(\mu_1, \sigma_1^2)$ et $X_2 \sim \mathcal{N}(\mu_2, \sigma_2^2)$ sont indépendantes, alors pour tous réels $a, b, c$ (avec $(a,b) \neq (0,0)$ ) on a $aX_1 + bX_2 + c \sim \mathcal{N}(a\mu_1 + b\mu_2 + c,\ a^2\sigma_1^2 + b^2\sigma_2^2)$ (résultat admis au BO).

La méthode

1
J'identifie les paramètres $(\mu_i, \sigma_i^2)$ des lois normales de chaque $X_i$ et je vérifie l'indépendance des variables.
2
Je repère les coefficients $a, b, c$ de la combinaison linéaire étudiée, en veillant à bien écrire l'éventuelle constante $c$ .
3
Je calcule la nouvelle moyenne $m = a\mu_1 + b\mu_2 + c$ par linéarité de l'espérance.
4
Je calcule la nouvelle variance $s^2 = a^2\sigma_1^2 + b^2\sigma_2^2$ (indépendance) et je conclus $aX_1 + bX_2 + c \sim \mathcal{N}(m, s^2)$ .

Pour comprendre, fais des exercices !

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Exercice d'exemple

Soit $X \sim \mathcal{N}(2, 9)$ et $Y \sim \mathcal{N}(-1, 4)$ indépendantes. Déterminer la loi de $Z = X + Y$ .

Étape 1 —

J'identifie les paramètres

(\mu_i, \sigma_i^2)

des lois normales de chaque

X_i

et je vérifie l'indépendance des variables.

On a $\mu_1 = 2$ , $\sigma_1^2 = 9$ , $\mu_2 = -1$ , $\sigma_2^2 = 4$ , et $X \perp\!\!\!\perp Y$ .

Étape 2 —

Je repère les coefficients

a, b, c

de la combinaison linéaire étudiée, en veillant à bien écrire l'éventuelle constante

c

La combinaison est $Z = 1 \cdot X + 1 \cdot Y + 0$ , donc $a = 1$ , $b = 1$ , $c = 0$ .

Étape 3 —

Je calcule la nouvelle moyenne

m = a\mu_1 + b\mu_2 + c

par linéarité de l'espérance.

Espérance : $\mathbb{E}(Z) = 1 \cdot 2 + 1 \cdot (-1) + 0 = 1$ .

Étape 4 —

Je calcule la nouvelle variance

s^2 = a^2\sigma_1^2 + b^2\sigma_2^2

(indépendance) et je conclus

aX_1 + bX_2 + c \sim \mathcal{N}(m, s^2)

Variance : $V(Z) = 1^2 \cdot 9 + 1^2 \cdot 4 = 13$ . Donc $Z \sim \mathcal{N}(1, 13)$ .

$Z \sim \mathcal{N}(1, 13)$ .

Application guidée

Soit $X \sim \mathcal{N}(0, 1)$ et $Y \sim \mathcal{N}(0, 1)$ indépendantes. Déterminer la loi de $W = 3X - 4Y + 5$ .

Application autonome 1

Soit $X_1, \dots, X_n$ i.i.d. de loi $\mathcal{N}(\mu, \sigma^2)$ . Déterminer la loi de la moyenne empirique $\overline{X}_n = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n X_i$ .

Application autonome 2

Soit $X \sim \mathcal{N}(1, 4)$ et $Y \sim \mathcal{N}(3, 1)$ indépendantes. Calculer $P(X < Y)$ .

Application autonome 3

Soient $X_1 \sim \mathcal{N}(2, 1)$ et $X_2 \sim \mathcal{N}(-1, 4)$ indépendantes. Déterminer la loi de $2 X_1 - X_2$ .

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