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Comment construire un intervalle de confiance de la moyenne d'une loi normale d'écart-type connu ?

En utilisant que X‾n∼N(m,σ2/n)\overline{X}_n \sim \mathcal{N}(m, \sigma^2/n) et les quantiles u1−α/2u_{1-\alpha/2}

L'objectif

Construire un intervalle de confiance exact de la moyenne mm d'une loi N(m,σ2)\mathcal{N}(m,\sigma^2) lorsque σ\sigma est connu.

Le principe

Pour (Xi)(X_i) i.i.d. N(m,σ2)\mathcal{N}(m,\sigma^2), la stabilité affine des lois normales donne X‾n∼N(m,σ2/n)\overline{X}_n \sim \mathcal{N}(m, \sigma^2/n), donc nX‾n−mσ∼N(0,1)\sqrt{n}\dfrac{\overline{X}_n - m}{\sigma} \sim \mathcal{N}(0,1).

La méthode
  1. 1
    Je vérifie les hypothèses : (X1,…,Xn)(X_1,\dots,X_n) i.i.d. N(m,σ2)\mathcal{N}(m,\sigma^2) avec σ>0\sigma>0 connu et mm à estimer.
  2. 2
    J'utilise la stabilité des lois normales par somme indépendante pour obtenir X‾n∼N(m,σ2/n)\overline{X}_n \sim \mathcal{N}(m,\sigma^2/n), puis je standardise : Z=nX‾n−mσ∼N(0,1)Z = \sqrt{n}\dfrac{\overline{X}_n - m}{\sigma} \sim \mathcal{N}(0,1).
  3. 3
    Pour α∈(0,1)\alpha\in(0,1), je pose u1−α/2=Φ−1(1−α/2)u_{1-\alpha/2} = \Phi^{-1}(1-\alpha/2) et j'écris P(∣Z∣≤u1−α/2)=1−αP(|Z|\leq u_{1-\alpha/2}) = 1-\alpha.
  4. 4
    Je traduis l'encadrement en ∣X‾n−m∣≤u1−α/2σn|\overline{X}_n - m| \leq u_{1-\alpha/2}\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}} et je conclus : [X‾n−u1−α/2σn,  X‾n+u1−α/2σn]\left[\overline{X}_n - u_{1-\alpha/2}\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}},\; \overline{X}_n + u_{1-\alpha/2}\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}\right] est un IC exact de mm au niveau 1−α1-\alpha.

Exemple corrigé

Difficulté croissante de 1 à 3

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