Comment construire un intervalle de confiance de la moyenne d'une loi normale d'écart-type connu ? | MetMat

Comment construire un intervalle de confiance de la moyenne d'une loi normale d'écart-type connu ?

En utilisant que $\overline{X}_n \sim \mathcal{N}(m, \sigma^2/n)$ et les quantiles $u_{1-\alpha/2}$

Construire un intervalle de confiance exact de la moyenne $m$ d'une loi $\mathcal{N}(m,\sigma^2)$ lorsque $\sigma$ est connu.

Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

On mesure la longueur d'une pièce par $n=25$ mesures indépendantes modélisées par $\mathcal{N}(m,\sigma^2)$ avec $\sigma=0{,}4$ connu. On observe $\overline{x}_n = 12{,}3$ . Donner un IC de $m$ au niveau $95\%$ .

L'objectif

Construire un intervalle de confiance exact de la moyenne $m$ d'une loi $\mathcal{N}(m,\sigma^2)$ lorsque $\sigma$ est connu.

Le principe

Pour $(X_i)$ i.i.d. $\mathcal{N}(m,\sigma^2)$ , la stabilité affine des lois normales donne $\overline{X}_n \sim \mathcal{N}(m, \sigma^2/n)$ , donc $\sqrt{n}\dfrac{\overline{X}_n - m}{\sigma} \sim \mathcal{N}(0,1)$ .

La méthode

1
Je vérifie les hypothèses : $(X_1,\dots,X_n)$ i.i.d. $\mathcal{N}(m,\sigma^2)$ avec $\sigma>0$ connu et $m$ à estimer.
2
J'utilise la stabilité des lois normales par somme indépendante pour obtenir $\overline{X}_n \sim \mathcal{N}(m,\sigma^2/n)$ , puis je standardise : $Z = \sqrt{n}\dfrac{\overline{X}_n - m}{\sigma} \sim \mathcal{N}(0,1)$ .
3
Pour $\alpha\in ]0,1[$ , je pose $u_{1-\alpha/2} = \Phi^{-1}(1-\alpha/2)$ et j'écris $P(|Z|\leq u_{1-\alpha/2}) = 1-\alpha$ .
4
Je traduis l'encadrement en $|\overline{X}_n - m| \leq u_{1-\alpha/2}\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}$ et je conclus : $\left[\overline{X}_n - u_{1-\alpha/2}\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}},\; \overline{X}_n + u_{1-\alpha/2}\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}\right]$ est un IC exact de $m$ au niveau $1-\alpha$ .

Pour comprendre, fais des exercices !

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Exercice d'exemple

Étape 1 —

Je vérifie les hypothèses :

(X_1,\dots,X_n)

i.i.d.

\mathcal{N}(m,\sigma^2)

avec

\sigma>0

connu et

m

à estimer.

Les $X_i$ sont supposées i.i.d. $\mathcal{N}(m, 0{,}4^2)$ avec $\sigma = 0{,}4$ connu.

Étape 2 —

J'utilise la stabilité des lois normales par somme indépendante pour obtenir

\overline{X}_n \sim \mathcal{N}(m,\sigma^2/n)

, puis je standardise :

Z = \sqrt{n}\dfrac{\overline{X}_n - m}{\sigma} \sim \mathcal{N}(0,1)

Par stabilité normale, $\overline{X}_n \sim \mathcal{N}(m, 0{,}16/25)$ ; on standardise : $Z = \sqrt{25}\,\dfrac{\overline{X}_n - m}{0{,}4}= \dfrac{\overline{X}_n - m}{0{,}08}\sim \mathcal{N}(0,1)$ .

Étape 3 —

Pour

\alpha\in ]0,1[

, je pose

u_{1-\alpha/2} = \Phi^{-1}(1-\alpha/2)

et j'écris

P(|Z|\leq u_{1-\alpha/2}) = 1-\alpha

On choisit $\alpha = 0{,}05$ , d'où $u_{0,975}\approx 1{,}96$ et $P(|Z|\leq 1{,}96)= 0{,}95$ .

Étape 4 —

Je traduis l'encadrement en

|\overline{X}_n - m| \leq u_{1-\alpha/2}\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}

et je conclus :

\left[\overline{X}_n - u_{1-\alpha/2}\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}},\; \overline{X}_n + u_{1-\alpha/2}\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}\right]

est un IC exact de

m

au niveau

1-\alpha

La demi-largeur vaut $1{,}96\cdot \dfrac{0{,}4}{5}= 0{,}1568$ . IC : $[12{,}3 - 0{,}157,\; 12{,}3 + 0{,}157]=[12{,}143,\; 12{,}457]$ .

$\mathrm{IC}_{95\%}(m) = [12{,}143,\; 12{,}457]$ au niveau exact.

Application guidée

On effectue $n=100$ pesées indépendantes modélisées par $\mathcal{N}(m,1)$ . On obtient $\overline{x}_n = 49{,}8$ . Donner un IC de $m$ au niveau $99\%$ .

Application autonome 1

Taille $n$ d'échantillon nécessaire pour obtenir un IC exact de $m$ de demi-largeur $0{,}1$ au niveau $95\%$ , pour $\sigma = 2$ connu.

Application autonome 2

On effectue $n = 16$ mesures indépendantes d'une loi $\mathcal{N}(m, \sigma^2)$ avec $\sigma = 2$ connu. On observe $\overline{x}_n = 7{,}5$ . Donner un IC de $m$ au niveau $95\%$ .

Application autonome 3

On effectue $n = 64$ mesures indépendantes d'une loi $\mathcal{N}(m, 16)$ . On observe $\overline{x}_n = 20{,}3$ . Donner un IC de $m$ au niveau $90\%$ .

Crée ton compte pour accéder à la fiche et aux exercices

En utilisant que X‾n∼N(m,σ2/n)\overline{X}_n \sim \mathcal{N}(m, \sigma^2/n)Xn​∼N(m,σ2/n) et les quantiles u1−α/2u_{1-\alpha/2}u1−α/2​

Pour comprendre, fais des exercices !

En utilisant que $\overline{X}_n \sim \mathcal{N}(m, \sigma^2/n)$ et les quantiles $u_{1-\alpha/2}$